牛頓-柯特斯公式

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1、§2牛頓—柯特斯公式一、Newton-Cotes公式的導(dǎo)出二、Newton-Cotes公式的代數(shù)精度所以I=S，表明辛卜生公式對于次數(shù)不超過三次的多項式準(zhǔn)確成立，用同樣的方法可以驗證對于f(x)=x4，辛卜生公式不成立，因此辛卜生公式的代數(shù)精度可以達(dá)到三次。上式中被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間關(guān)于原點對稱，故積分值為0，即：所以2n階N-C公式至少具有2n+1次代數(shù)精度。三、幾種低階Newton-Cotes求積公式的余項證明：這里被積函數(shù)中的因子(x－a)(x－b)在區(qū)間[a,b]上不變號（非正），故由積分中值定理，在[a,b]內(nèi)至少存在一點?，使：

2、證明：在[a,b]區(qū)間上構(gòu)造三次多項式H(x)，讓H(x)滿足插值條件（帶導(dǎo)數(shù)插值）：而辛卜生公式至少具有三次代數(shù)精度，因此對上述三次多項式H(x)應(yīng)準(zhǔn)確成立，即有：其插值余項為：因此，辛卜生公式的誤差就是對上述誤差公式的積分：四復(fù)化求積公式在實驗計算中常用的就是以上三種低階的N-C公式，但若積分區(qū)間比較大，直接使用這些求積公式，則精度難以保證；若增加節(jié)點，就要使用高階的N-C公式，然而前面已指出，當(dāng)n?8時，由于N-C公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此不能采用高階的公式，事實上，增加節(jié)點，從插值的角度出發(fā)，必然會提高插值多項式的次數(shù)，Rung

3、e現(xiàn)象表明，一般不采用高次插值，亦即不用高階N-C公式，為提高精度，當(dāng)增加求積節(jié)點時，考慮對被積函數(shù)用分段低次多項式近似，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。1、復(fù)化梯形公式2、復(fù)化辛普森公式步長h越小，截斷誤差越小。與復(fù)化梯形公式的分析相類似，可以證明，當(dāng)n??時，用復(fù)化Simpson公式所求得的近似值收斂于積分值，而且算法具有數(shù)值穩(wěn)定性。xi01/81/43/81/25/83/47/81f(xi)10.9973978………………………0.8414709若用復(fù)化求積公式計算積分:的近似值，要求計算結(jié)果有四位有效數(shù)字，n應(yīng)取多大？例2[解]因為當(dāng)0≤x≤1

4、時有0.3

5、長方法，要應(yīng)用復(fù)化求積公式，必須根據(jù)預(yù)先給定的精度估計出合適的步長或n，進(jìn)而確定對積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)，如同例2一樣。然而當(dāng)被積函數(shù)稍復(fù)雜一些，要由誤差估計式給出合適的步長，就要估計被積函數(shù)導(dǎo)數(shù)的上界值，而這一點是相當(dāng)困難的。定義若一個積分公式的誤差滿足且C?0，則稱該公式是p階收斂的。~~~