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《隱函數(shù)求導(dǎo)軌則》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫(kù)。
1、（十）隱函數(shù)求導(dǎo)法則由方程F（?！唬?0所確定的y是兀的函數(shù)稱為隱函數(shù)。從方程F（x,y）=0中有時(shí)可解出y是兀的顯函數(shù)，如從方程3兀+5y+l=0可解出顯函數(shù)y=——x——‘55從方程F（x,y）=0中可以解出不止一個(gè)顯函數(shù)，如從方程午+獷―尺2=0（/?>0）中可以解出y=o它包含兩個(gè)顯函數(shù)，其中y=VR2—X1代表上半圓周,y=-V/?2-x2代表下半周。但也有時(shí)隱函數(shù)并不能表示為顯函數(shù)的形式,如方程y-x-￡siny=0（0vgvl）就不能解出來(lái)y=/（x）的形式?，F(xiàn)在討論當(dāng)y是由方程F（x,y）=O所確定的兀的函數(shù)，并且），對(duì)x
2、可導(dǎo)（即才⑴存在），那么在不解岀y的情況下,如何求導(dǎo)數(shù)#呢？其辦法是在方程F（x,y）=0中，把y看成兀的函數(shù)心），于是方程可看成關(guān)于兀的恒等式:F（兀,血））三0.在等式兩端同時(shí)對(duì)兀求導(dǎo)（左端要用到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則），然后解出/即可。例2.14求方程x2^y2=R2（R>0）所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)八解當(dāng)我們對(duì)方程x2^y2=R2的兩端同時(shí)對(duì)兀求導(dǎo)時(shí)，則應(yīng)有（歹=血）是中間變量）2x+2y-yf=0.解出yf=-—（y#0）.y思考題證明：圓%2+y2=R2（R>0）在其上一點(diǎn)M（）（x（）,y（））處的切線方程為x（）x+y（）y=疋問(wèn)
3、：法線方程是什么?例2.15求曲線Q+lny=l在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。解將曲線方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得Oy)；+(lny)；=0,即y+xyf+—-yr=O.y于是二一?過(guò)點(diǎn)(1,1)處的切線斜率xy+1i■__b_1_)(⑴一丁I⑺一丁故所求切線方程為y-l=-l(x-l),即x+2y-3=0例2.16已知xy-siny2)=0,求y‘“])?解方程兩邊對(duì)兀求導(dǎo)，得5)；-[sinSb)]：=0即y+xyf一cos(;ry2)?2龍yyf=0.x—2兀ycos(馮Q)'0,-12ti-cosn2ti例2.17證明雙曲線xy=a2±任意
4、一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸形成的三角形的面積等于常數(shù)2/.證在雙曲線心=/上任取一點(diǎn)(心兒)，過(guò)此點(diǎn)的切線斜率為“),仁"嚴(yán)故切線方程為y-兒一也(兀-兀。)?此切線在y軸與x軸上的截距分別為兀0例2.18設(shè)sin(xy)-ln^—=1，求??ydxx=0解兩邊對(duì)兀求導(dǎo)，有[cos(詢(小-丄出]=0兀+1Iy丿[cos(xy)](y+xy')-y-葉叭()ycos(xy)+xyfcos(x>,)—=0牙+ly當(dāng)x=0時(shí)，由sin(xy)-In"+1=1可解岀-In丄=1,即)'yJIny=1,/.y=e.而當(dāng)x=0,y=e時(shí)，由(*)可解出e
5、-l+—=0.?e???V
6、“o=e(l-￡)?(十一)取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法(是要點(diǎn))先看幾個(gè)例題。例2.19設(shè)尸/(°〉(),心1)?此為指數(shù)函數(shù)。兩邊取對(duì)數(shù)得lny=ln譏即1叮=幻“,這是隱函數(shù)形式，按隱函數(shù)求導(dǎo)法：將此式兩邊對(duì)*求導(dǎo)，得f9f(lny)x=(xlntz),即(iny)y-yfx=a.丄?y'=Ina,?°.yf=ya=ax"nd.y即指數(shù)函數(shù)尸Q的導(dǎo)數(shù)為
7、/j二八lz
8、……(1)特別當(dāng)d=￡時(shí)，則有(vlne=l)(討"(2)由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法，利用公式（1）容易求出尸廠的導(dǎo)數(shù):=(八)3?(_兀)=(?~v-In6
9、/)-(-1)而（嚴(yán)2+（”y二嚴(yán)2+畑￡兀2*加+j二嚴(yán)認(rèn)+J（2q+/".若求由方程R二小所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，只須兩邊對(duì)兀求導(dǎo)，得ey?=y+xy所以『=』一?e-x（注：另一種解法???小二廠，從中容易解出x二尤.此為y）=）心）的反函數(shù)。而dyy2嚀.由此易知變=丄=y2=)'即紅」dxdx^yey—eyyey-xyey-xdxey-x例2.20求幕函數(shù)廠疋（兀＞0衛(wèi)為任意實(shí)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。解當(dāng)a=neN9已有(xz,)/=nxw~1.現(xiàn)在Vow7?在歹=兀"兩邊取對(duì)數(shù)，則有Iny=Inx(,,即Iny=ax.兩邊對(duì)入"求導(dǎo)
10、數(shù)()'做中間變量)，有(iny)x=(aInx),—?yr=d(lnx)=a—.yf=a^=a~=a^xa'即(兀")=處心(*/?).XX例2.19,例2.20說(shuō)明：對(duì)指數(shù)函數(shù)，幕函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，幕指函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，都可以利用“取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法”。但注意，要盡量利用已有公式，如求(ViT7j,不必再去令然后兩邊取對(duì)數(shù)。而可直接求例2?21求幕指函數(shù)尸*的導(dǎo)數(shù)幾解法一利用兩邊取對(duì)數(shù)方法：lny=lnh,即lny=x?ln兀.再利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則(這里中間變量是$)：—-yz=lnx+x(lnx)=Inx+x—/.yr=y(l+In兀)=xA(1
11、+lnx).解法二由y=可變形"嚴(yán)"=嚴(yán)1?二？畑.(幻心)之1心+兀.(inj=ex]nx(x+x-丄]二0F(1+lnx)=xA(1+lnx).I兀丿解法一是對(duì)幕指函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)；解法
