非線性系統(tǒng)的分析

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1、第七章非線性系統(tǒng)的分析§7-1非線性系統(tǒng)的基本概念§7-2二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析§7-3非線性系統(tǒng)的相平面分析§7-4非線性系統(tǒng)的一種線性近似表示——描述函數(shù)§7-5典型非線性特性的描述函數(shù)§7-6分析非線性系統(tǒng)的諧波平衡法§7-8用對(duì)數(shù)幅相頻率特性分析非線性系統(tǒng)非線性控制系統(tǒng)：系統(tǒng)中有非線性元件，輸入輸出間不具有疊加性和均勻性性質(zhì)。微分方程中各階導(dǎo)數(shù)是非一次冪一、非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述在描述系統(tǒng)性能的微分方程中，若包含的C（t）及其各階導(dǎo)數(shù)不是一次冪的二、非線性特性的分類(lèi)§7-1非線性系統(tǒng)的基本概念輸入輸出

2、1。死區(qū)特性很小時(shí)?作為線性特性處理（不靈敏區(qū)特性）當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒(méi)有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。各類(lèi)液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。較大時(shí)?將使系統(tǒng)靜態(tài)誤差增加，?系統(tǒng)低速不平滑性死區(qū)或不靈敏區(qū)輸入輸出放大器的飽和輸出特性磁飽和元件的行程限制功率限制等等。當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。2。飽和特性輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出輸入3。繼電器特性理想繼電器具有飽和死區(qū)

3、的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性輸出輸入4。間隙特性齒輪傳動(dòng)中的齒隙液壓傳動(dòng)中的油隙輸入輸出之間具有多值關(guān)系間隙?輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動(dòng)特性變壞?自持振蕩。無(wú)特別說(shuō)明，間隙特性曲線的斜線的斜率為45度角三、非線性的特點(diǎn)：穩(wěn)定性：與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)和初始狀態(tài)有關(guān)。只有小范圍穩(wěn)定的定義例：線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的解：非線性的解：10當(dāng)時(shí)，非線性系統(tǒng)的響應(yīng)與線性系統(tǒng)的響應(yīng)一樣，都是收斂的。當(dāng)時(shí)，線性系統(tǒng)的響應(yīng)收斂，而非線性系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)散。說(shuō)明：1。線性系統(tǒng)的平

4、衡點(diǎn)只有一個(gè)，非線性可以有多個(gè)。2。非線性系統(tǒng)的響應(yīng)以初始狀態(tài)的不同而有所不同例：范的波爾方程解：二階線性系統(tǒng)方程是：線性阻尼比非線性阻尼比系統(tǒng)的自持震蕩頻率響應(yīng)畸變：輸入為正弦信號(hào)，輸出含有高次諧波信號(hào)系統(tǒng)不發(fā)生共振不能用迭加原理該阻尼比是與響應(yīng)有關(guān)的變量，當(dāng)時(shí)，等效阻尼比，則系統(tǒng)的響應(yīng)是發(fā)散，當(dāng)?shù)刃ё枘岜龋瑒t系統(tǒng)的響應(yīng)是收斂的分析方法：非線性嚴(yán)重、輸入信號(hào)作用范圍大、用于非線性研究非線性理論：描述函數(shù)法、相平面法，§7-2二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析一、相平面、相軌跡和平衡點(diǎn)將二階系統(tǒng)常微分方程寫(xiě)成兩個(gè)一階微

5、分方程表示如下：相平面：以橫坐標(biāo)表示X，以縱坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)直角坐標(biāo)系，則該坐標(biāo)平面成為相平面，系統(tǒng)某一時(shí)刻的狀態(tài)可以用相平面上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)描述。相軌跡：相平面上的點(diǎn)隨時(shí)間變化描繪出來(lái)的曲線稱(chēng)為相軌跡。相平面法適用于一、二階非線性系統(tǒng)的分析，方法的重點(diǎn)是將二階非線性微分方程變寫(xiě)為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩個(gè)一階微分方程。然后依據(jù)這一對(duì)方程，設(shè)法求出其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌線，并由此對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)進(jìn)行判別。所得結(jié)果比較精確和全面。只適用于二階系統(tǒng)。如果把系統(tǒng)在各種初始條件下的相軌跡都畫(huà)出來(lái)，則可在相平面上的到一

6、個(gè)相軌跡曲線簇，（描述系統(tǒng)各種可能的運(yùn)動(dòng)）。相平面圖：相平面和相軌跡曲線簇構(gòu)成相平面圖。清楚的表示系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。相平面法：用相平面圖表示非線性二階系統(tǒng)過(guò)程的方法稱(chēng)相平面法，可分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程。3、平衡點(diǎn)：將微分方程式寫(xiě)成下面的一個(gè)形式：則平衡點(diǎn)為：對(duì)所有的，當(dāng)下式成立，狀態(tài)稱(chēng)為二階系統(tǒng)在時(shí)刻的一個(gè)平衡點(diǎn)。特性：在平衡點(diǎn)處的相軌跡滿(mǎn)足平衡點(diǎn)可稱(chēng)為奇點(diǎn)二、二階線性系統(tǒng)的的特征：令：則：從二階線性系統(tǒng)的特征方程中解出相軌跡的特點(diǎn)：（1）不同的初始狀態(tài)有不同的相軌跡（2）相軌跡上任意點(diǎn)的斜率唯一（相軌跡不

7、能相交，除平衡點(diǎn)）（3）相軌跡是順時(shí)針?lè)较颍?）當(dāng)時(shí)方程為：表示系統(tǒng)的相軌跡是一族同心的橢圓當(dāng)不同的，我們得到不同的相軌跡如下圖：平衡點(diǎn)的類(lèi)型即：奇點(diǎn)的類(lèi)型穩(wěn)定焦點(diǎn)、不穩(wěn)定焦點(diǎn)、穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)、不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)、中心點(diǎn)和鞍點(diǎn)三、二階非線性系統(tǒng)的特征將上式在平衡點(diǎn)（0，0）處泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：例：范德波爾方程將上式寫(xiě)成二個(gè)一階方程組：平衡點(diǎn)為：（1）線性化方程為：（2）從（2）式看出：線性化以后的系統(tǒng)其特性與線性系統(tǒng)的特性一樣，可是（1）式表示的非線性系統(tǒng)的特性為：當(dāng)參量，時(shí)，等效阻尼系數(shù)：則系統(tǒng)的響應(yīng)是發(fā)散的，當(dāng)，但時(shí)，則等效阻尼系

8、數(shù)：系統(tǒng)的響應(yīng)為收斂的。從圖中看出，所有從初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡最終趨向平衡點(diǎn)（0，0），而從初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡最終要離開(kāi)平衡點(diǎn)向外發(fā)散。這樣在相平面上行成了一個(gè)封閉的環(huán)——極限環(huán)，表示非線性系統(tǒng)響應(yīng)存在自持震蕩，這樣的特性只在非線性系統(tǒng)中存在，線性系統(tǒng)無(wú)這種特性，但是，不是所有的非線性系統(tǒng)都會(huì)存在極限環(huán)。說(shuō)明：極限環(huán)的類(lèi)型穩(wěn)定極限環(huán)：極限環(huán)的