泰勒公式及其在在計(jì)算方法中地應(yīng)用

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔泰勒公式在計(jì)算方法中的應(yīng)用摘要：泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式,同時(shí)它是求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要工具,在此結(jié)合例子簡(jiǎn)要討論了泰勒公式在計(jì)算方法中的誤差分析、函數(shù)值估測(cè)及近似計(jì)算、數(shù)值積分、常微分方程的數(shù)值解法中的應(yīng)用。通過(guò)本文的論述,可知泰勒公式可以使數(shù)值問(wèn)題的求解簡(jiǎn)便.關(guān)鍵詞：泰勒公式;誤差分析;近似計(jì)算;數(shù)值積分§1引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式,利用泰勒公式能將一些初等函數(shù)展成冪級(jí)數(shù),進(jìn)行函數(shù)值的計(jì)算;而且函數(shù)的Taylor公式是函數(shù)無(wú)窮小的一種精細(xì)分析,也是在無(wú)窮小鄰域?qū)⒊竭\(yùn)算轉(zhuǎn)化為整冪運(yùn)算的

2、手段,從而可將無(wú)理函數(shù)或超越函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為有理式的極限而求解,有效簡(jiǎn)化計(jì)算.泰勒公式作為求解高等數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要工具,在計(jì)算方法中有重要的應(yīng)用.§2泰勒（Taylor）公式定理1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)具有階導(dǎo)數(shù),則對(duì)該鄰域內(nèi)異于的任意點(diǎn),在與之間至少存在一點(diǎn),使得：(1)其中（2）文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔公式（1）稱為按的冪展開(kāi)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的階泰勒公式,的表達(dá)式（2）稱為拉格朗日型余項(xiàng).定理2若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù),則有(3)公式(3)稱為按的冪展開(kāi)的帶有佩亞諾型余項(xiàng)的階泰勒公式,形如的余項(xiàng)稱為佩亞諾型余項(xiàng).特別地：在

3、泰勒公式(1)中,如果取,則在0與之間,因此可令從而泰勒公式就變成比較簡(jiǎn)單的形式,即所謂帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurm）公式:（4）在公式(3)中,如果取,則得帶有佩亞諾型余項(xiàng)的麥克勞林公式：(5)§3泰勒公式的求法（1）帶佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式的求法只要知道在處n階可導(dǎo)，就存在=帶佩亞諾余項(xiàng)的階泰勒公式。（1）直接求法：通過(guò)求……而求得;文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔例如求：等（2）間接求法：利用已知的泰勒公式，通過(guò)一些運(yùn)算求得?；靖鶕?jù)：泰勒公式的唯一性。設(shè)在處的階可導(dǎo)，且……()①……。()②將①②式相減得：()令將上

4、式兩邊同除以(),令其余類(lèi)似可得。方法：四則運(yùn)算，變量替換，逐項(xiàng)積分§4泰勒公式在計(jì)算方法中的應(yīng)用（4.1）泰勒公式在誤差估計(jì)中的應(yīng)用文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔在研究學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型化或者可能是由于計(jì)算工作者的疏忽，絕大多數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果都會(huì)有誤差，通過(guò)合理的計(jì)算方法就能最大限度的減少誤差，同時(shí)減少計(jì)算的復(fù)雜程度。泰勒公式在誤差估計(jì)中應(yīng)用就顯得十分突出。下面在具體例子中通過(guò)用泰勒公式和matlab進(jìn)行比較，展示泰勒公式計(jì)算的方便與精確。例1設(shè)有，將被積函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，并取前六項(xiàng)得：用代替被積函數(shù)時(shí)再積分所得的近似

5、值：0.544977678571且0.94256130<0.5，實(shí)際上近似真值時(shí)有4位有效數(shù)字。，曲線如圖所示。在編輯窗口輸入如下命令：x=0:0.01:1.5;y1=exp(x.^2);y2=1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6;plot(x,y1,x,y2);legend('exp(x.^2)','1+x.^2+0.5*x.^4+1/6*x.^6');grid文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔有限代替無(wú)限所產(chǎn)生的誤差圖由圖可知，泰勒公式在泰勒公式在誤差估計(jì)中所產(chǎn)生截?cái)嗾`差非常小。下例通過(guò)用泰勒公式求得的數(shù)值與實(shí)際數(shù)值之間的誤差

6、界，可知泰勒公式在誤差計(jì)算中的精確度較高。例2估計(jì)近似公式的絕對(duì)誤差.解設(shè),則因?yàn)樗詭в欣窭嗜招陀囗?xiàng)的二階麥克勞林公式為：文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔從而：.（4.2）泰勒公式在函數(shù)值估測(cè)及近似計(jì)算中的應(yīng)用泰勒公式是函數(shù)值估計(jì)的一個(gè)重要方法，通過(guò)泰勒公式可以將原函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)……相聯(lián)系起來(lái)。例3設(shè)函數(shù)在上存在二階導(dǎo)數(shù),并且當(dāng)時(shí),有,證明：,.證明對(duì),由泰勒公式,將在展開(kāi)為：將在展開(kāi)為：兩式相減得從而有文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔所以.有了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，就可用它來(lái)進(jìn)行近似計(jì)算，即在展開(kāi)式有效的區(qū)間上，函數(shù)值可以近似地利用這個(gè)技

7、術(shù)按精確度要求計(jì)算出來(lái)的。例4求的近似值解令,則所以從而由公式（4）1+故文案大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔從而=誤差（4.3）泰勒公式在數(shù)值積分中的應(yīng)用設(shè)為的原函數(shù)，由牛頓—萊布尼茲公式知，對(duì)定義在區(qū)間上的定積分，有：但是，并不是區(qū)間上的所有可積函數(shù)的積分值計(jì)算都可由牛頓—萊布尼茲公式解決的，有的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，或者有的原函數(shù)十分復(fù)雜難以求出或計(jì)算。如被積函數(shù)、等函數(shù)的積分都無(wú)法解決；又或者當(dāng)被積函數(shù)為一組離散的數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)于這種積分更是無(wú)能為力了。理論上，定積分是一個(gè)客觀存在的確定的數(shù)值，要解決的問(wèn)題就是能否找到其他途徑來(lái)解決定積

8、分的近似計(jì)算。利用泰勒公式建立定積分的近似計(jì)算公式，可實(shí)現(xiàn)定積分的近似計(jì)算。解法具體地說(shuō)，如果被積函數(shù)在積分區(qū)間上能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)，則把這個(gè)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分，用積分后的級(jí)數(shù)就可算出定積分的近似值。例5計(jì)算定積分的近似值解因?yàn)槲陌复笕珜?shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔所以因此==由此式得到