盈不足問題課件

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1、盈不足問題《九章算術(shù)》中第七章的第一題是：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數(shù)物價各幾何？其意是：有若干人共同買東西，如果每人出８塊錢，則余３聲，如果每人出７塊錢，則少４塊，問人數(shù)及所買東西的價格各是多少？《九章算術(shù)》是在中國數(shù)學著作中影響最大的一部。全書分九章共２４６個應用問題，是以問題集形式出現(xiàn)的數(shù)學名著。它成書于公元１世紀，內(nèi)容豐富多彩，在許多方面都居于世界領先地位?！坝蛔銌栴}”的解決方法被稱作盈不足術(shù)，設人出a1盈b1，人出a2不足b2，則（1）（2）（3）按照這組公式，開始所述問題可得解有一個盈數(shù)和一個

2、不足數(shù)是簡單的標準的盈不足問題，使用公式（1）、（2）、（3）問題便迎刃而解。如果把這組公式作適當?shù)淖兺?，則可以解出“兩盈”、“兩不足”。“一盈一適足”、“一不足一適足”等問題。下面是這四類問題的例子。“今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數(shù)金價各幾何？”“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數(shù)羊價各幾何？”“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)豕價各幾何？”“今有共買犬，人出五，不足九十，人出五十，適足。問人數(shù)犬價各幾何？”以上四個問題的解題公式是：對于“兩盈”或“兩不足”

3、問題，有對于“一盈一適足”或“一不足一適足”問題，有其中a1、a2是前后兩次付款數(shù)，b1、b2是相應的或盈，或不足，或適足數(shù)。據(jù)上述公式，可分別計算出上述四題的答案，按順序為：33人，金價9800；21人，羊價150；10人，豕價900；2人，犬價100。在《九章算術(shù)》的盈不足章中，前八個題目是明顯的盈不足問題。而后面的十二個題，在形式上不屬于盈不足問題，但是作者仍然用盈不足術(shù)來解，十分巧妙。例如，“今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日長七寸，瓠生其下，蔓日長一尺。問幾何日相逢？瓜、瓠各長幾何？”其意是：有一堵高9尺的墻，墻頂上長一棵

4、瓜，瓜蔓日長7寸往下爬；墻腳種瓠，瓠蔓日長1尺往上爬，問幾天后瓜和瓠相逢，相逢時瓜和瓠各長多少？我們假設生長了5日，瓜瓠共長了（0.7＋1）×5=8.5（尺），距9尺還差5寸，再設生長了6日，瓜瓠共長了（0.7＋1）×6=10.2（尺），比9尺又多出了1.2尺。即“假令五日，不足五寸，令之六日，有余一尺二寸?！笨梢?，此時問題表現(xiàn)就是盈不足問題。瓜瓠相逢日數(shù)=瓜長長度=瓠長長度=這種計算方法在形式上是先采取兩次假設，得出相應數(shù)值，以此為條件便構(gòu)成盈不足問題，進而用盈不足術(shù)解之。盈不足術(shù)后來被傳到西方，受到數(shù)學家們的高度重視，得到

5、了輝煌的發(fā)展，在世界數(shù)學只上占有相當高的地位，特別是通過兩次假設再使用盈不足術(shù)的解題方法（假設法）倍受人們推崇。13世紀的阿拉伯數(shù)學家們對“假設法”作了力學解釋，并稱之為“秤盤法”。這在1222年伊本—阿爾班納的著作《塔爾基斯》中有記載“秤盤法是一種幾何方法，其內(nèi)容為：取一定形式的秤，并在支架上放上已知量。在一秤盤上放一任選量，然后根據(jù)要求增加，所得結(jié)果與已知量比較，如果任選量對了，則秤盤上的量即等于已知量；如果沒選對，則記下這一盤的誤差。然后，在另一秤盤中放入另一任選量，重復以上步驟。做完這些之后，將每盤誤差乘以另一盤之量，

6、如果兩盤誤差都是正數(shù)或都是負數(shù)，則從較大誤差中減去較小誤差，同時，從較大的乘積減去較小的乘積，之后，將乘積之差除以誤差之差。如果兩盤之誤差一正一負，則將乘積之和除以誤差之和?！奔僭O法（或稱秤盤法）可以算是一種一次內(nèi)插法，在高等數(shù)學中求某些方程的近似實根時，要借助這種方法。著名科學史專家李瑟說得好：“盈和不足的要領在哲學上是十分重要的，它推動了所有的古代數(shù)學，也推動了希臘的生物學?！钡谄咧v盈虧問題解盈虧問題，常常用到比較法。例1：三年級一班少先隊員參加學校搬磚勞動，如果每人搬4塊磚，還剩7塊；如果每人搬5塊，則少2塊磚，這個班少

7、先隊有幾個人？要搬的磚共有多少塊？（共有少先隊員9人，磚的總數(shù)是43塊。）例2：媽媽買回一筐蘋果，按計劃吃的天數(shù)算了一下，如果每天吃4個，要多出48個蘋果；如果每天吃6個，則又少5個蘋果，那么媽媽買回的蘋果有多少個？計劃吃多少天？（有蘋果128個，計劃吃20天。）例3：學校規(guī)定上午8時到校，小明去上學，如果每分鐘走60米，可提早10分鐘到校；如果每分鐘走50米，可提早8分鐘到校，求小明幾時幾分離家剛好8時到校？由家到學校的路程是多少？（小明7點40分離家去上學剛好8時到校；小明的家離校有600米。）例4：學校為新生分配宿舍，每

8、個房間住3人，則多出23人；每個房間住5人，由空出3個房間，問宿舍有多少間？新生有多少人？（有19間宿舍，新生有80人）例5：少先隊員去植樹，如果每人種5棵，還有3棵沒人種；如果其中2人各種4棵，其余的人各種6棵，這些樹苗正好種完，問有多少先隊員參加植樹，一共種多少樹苗？（有