線性規(guī)劃模型案例

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1、線性規(guī)劃模型案例目錄例1：生產(chǎn)計劃問題1例2：多階段投資問題4例3：擴建投資問題6例4：混料問題8例5：下料問題9例6：場地租借問題11例7：分配問題13例8：選址問題14例1：生產(chǎn)計劃問題某工廠明年根據(jù)合同，每個季度末向銷售公司提供產(chǎn)品，有關(guān)信息如下表。若當(dāng)季生產(chǎn)的產(chǎn)品過多，季末有積余，則一個季度每積壓一噸產(chǎn)品需支付存貯費O.2萬元?，F(xiàn)該廠考慮明年的最佳生產(chǎn)方案，使該廠在完成合同的情況下，全年的生產(chǎn)費用最低。試建立模型。季度j生產(chǎn)能力aj(噸)生產(chǎn)成本dj(萬元／噸)需求量bj(噸)13015．O2024014.O2032015．33041014．810解：現(xiàn)在我

2、們對本問題定義三種不同形式的決策變量，從而從不同的途徑來構(gòu)建模型。(1)設(shè)工廠第j季度生產(chǎn)產(chǎn)品xj噸。首先，考慮約束條件：第一季度末工廠需交貨20噸；故應(yīng)有x1≥1520；第一季度末交貨后積余(x1-20)噸；第二季度末工廠需交貨20噸，故應(yīng)有x1-20+x2≥20；類似地，應(yīng)有x1+x2-40+x3≥30；第四季度末供貨后工廠不能積壓產(chǎn)品，故應(yīng)有x1+x2+x3-70+x4=10；又考慮到工廠每個季度的生產(chǎn)能力，故應(yīng)有0≤xj≤aj。其次，考慮目標(biāo)函數(shù)：第一季度工廠的生產(chǎn)費用為15.0x1，第二季度工廠的費用包括生產(chǎn)費用14x2及積壓產(chǎn)品的存貯費0.2(x1-20

3、)；類似地，第三季度費用為15.3x3+0.2(x1+x2-40)，第四季度費用為14.8x4+0.2(x1+x2+x3-70)。工廠一年的費用即為這四個季度費用之和。整理后，得下列線性規(guī)劃模型：minf=15.6x1+14.4x2+15.5x3+14.8x4-26s.t．x1+x2≥40x1+x2+x3≥70x1+x2+x3+x4=8020≤x1≤30，0≤x2≤40，0≤x3≤20，0≤x4≤10。(2)設(shè)第j季度工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為xj噸，第j季度初存貯的產(chǎn)品為yj噸(顯然，y1＝0)。因為每季度初的存貯量為上季度存貯量、生產(chǎn)量之和與上季度的需求量之差，又考慮到第

4、四季度末存貯量為零，故有；x1—20=y2，y2+x2—20=y3，y3+x3—30＝y(tǒng)4，y4+x4=10；同時，每季度的生產(chǎn)量不能超過生產(chǎn)能力：xj≤aj；而工廠四個季度的總費用由每季的生產(chǎn)費用與存貯費用組成，于是得線性規(guī)劃：minf=15.Oxl+O.2y2+14x2+O.2y3+15.3x3+O.2y4+14.8x4,s．t．x1-y2=20，y2+x2-y3＝20，y3+x3-y4=30，15y4+x4=100≤x1≤300≤x2≤400≤x3≤200≤x4≤100≤yjj=2,3,4(3)設(shè)第i季度生產(chǎn)而用于第j季度末交貨的產(chǎn)品數(shù)量為xij噸。根據(jù)合同要

5、求，必須有：xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x33=30，x14+x24+x34+x44=10。又每季度生產(chǎn)而用于當(dāng)季和以后各季交貨的產(chǎn)品數(shù)不可能超過該季度工廠的生產(chǎn)能力，故應(yīng)有。xll+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10。第i季度生產(chǎn)的用于第j季度交貨的每噸產(chǎn)品的費用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有線性規(guī)劃模型。minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3x33+15.5x34+14.8x44s．

6、t．xll=20，x12+x22=20，x13+x23+x13=30，x14+x24+x34+x44=10，x1l+x12+x13+x14≤30，x22+x23+x24≤40，x33+x34≤20，x44≤10，‘xij≥0，i=1，…，4;j=1，…，4，j≥i。15例2：多階段投資問題某公司現(xiàn)有資金30萬元可用于投資，5年內(nèi)有下列方案可供采納：1號方案：在年初投資1元，2年后可收回1.3元；2號方案；在年初投資1元，3年后可收回1.45元；3號方案：僅在第1年年初有一次投資機會。每投資1元，4年后可收回1.65元；4號方案：僅在第2年年初有一次投資機會。每投資1

7、元，4年后可收回1.7元；5號方案。在年初存入銀行1元，下一年初可得1.1元。每年年初投資所得收益及銀行利息也可用作安排。問該公司在5年內(nèi)怎樣使用資金，才能在第6年年初擁有最多資金?解:設(shè)xij為i號方案在第j年年初所使用的資金數(shù)。顯然，對于3號及4號方案，僅有x31和x42。此外，不考慮x15，x24，x25，因為其相應(yīng)投資方案回收期超過我們所討論的期限。我們將各年的決策變量(表中虛線起點)及其相應(yīng)效益(表中虛線終點)列表。年份j（年初）123456x11x21x31x511.1x51x12x22x42x521.3x111.1x52x13x23x531.45x