不等式恒成立、能成立、恰成立問題分析及應用

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1、不等式恒成立.能成立.恰成立問題分析及應用問題引入：例1:已知不等式無2—2處+1>0對Xe[1,2]恒成立，其中Q〉o.求實數(shù)d的取值范圍.分析：思路1、通過化歸最值,直接求函數(shù)f(x)=x2-2ax+l的最小值解決,即/min(x)>0o兀2+111x24-1思路2、通過分離變塑，轉化到QV=_(%+_)解決，即qv()n.no2x2x2x思路3、通過數(shù)形結合，化歸到H+l>2血作圖解決，即y=i2+l圖像在y=2ax的上方.小結：不等式恒成立問題的處理方法1、轉換求函數(shù)的最值：⑴若不等式A

2、(兀)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上AV/(無)価O/(x)的下界大于A⑵若不等式B>f{x)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上B>/(^)IWXo/(兀)的上界小于B。2、分離參數(shù)法，1UX(1)將參數(shù)與變量分離,即化為g(A)>f(x)(或g(A)/(x)max(或g⑷S/(兀)麗),得2的取值范圍。3、轉換成函數(shù)圖象問題⑴若不等式/(x)>g(兀)在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上函數(shù)y=/(

3、兀)和圖象在函數(shù)y=g(x)圖象上方；⑵若不等式f(x)0—2。兀+1>0T1眥一2飯+1>0均恒成立，該如何處理？例2：已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+lfg(x)=—,其中a>0,兀工0?1)對任意xg[1,2],都有f(x)>g(x)恒成立，求實數(shù)g的取值范圍；2)對任意g[1,2],x2g[2,4]，都有/(%!)>g(x2)恒成立,求實數(shù)Q的

4、取值范圍;【分析:】1)思路、等價轉化為函數(shù)f(x)-g(x)>0恒成立，在通過分離變量，創(chuàng)設新函數(shù)求最值解決.2)思路、對在不同區(qū)間內(nèi)的兩個函數(shù)/(X)和g(X)分別求最值，即只需滿足/n.n(X)>^max(X)即可.33簡解：(1)由X2-2ax+-->0^a<^-^-成立，只需滿足?(兀)=蘭工的最小值x2x2+12x2+14-Y4--I-1大于d即可.對0(兀)=丄戶求導，(pf(x)=T>0,故0(x)在xe[1,2]是增函2x2+1*(2/+1)2十2?數(shù),久ind)=0(l)=q，

5、所以d的取值范圍是0

6、?

7、?分析：思路.解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個參數(shù)，再處理另一個參數(shù).以本題為例，實質還是通過函數(shù)求最值解決.方法1：化歸最值,h(x)<10

8、(x)+x+h=-+x+h求導，笊兀)=1_￡二上迦空"，X廠JT由此可知，h(x)在丄,1]上的最大值為/?(-)與加1)屮的較大者?44..時於丄4出+亦10=牛罟-心，對于任意dw[*,2],得b的取值范圍是b<^./?(1)<10l+a+b<