現(xiàn)代光學(xué)第7章光學(xué)小波變換

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1、第7章光學(xué)小波變換7.1短時(shí)傅里葉變換和Morlet小波變換7.2小波變換的一般定義和性質(zhì)7.3實(shí)現(xiàn)小波變換的光學(xué)系統(tǒng)7.4光學(xué)小波變換的應(yīng)用7.1短時(shí)傅里葉變換和Morlet小波變換由信號(hào)f(x)的傅里葉變換(7.1-1)和其逆變換(7.1-2)的定義可見(jiàn)，如果f(x)是時(shí)域或空域中分布在(－∞，+∞)區(qū)間的平穩(wěn)過(guò)程或穩(wěn)定分布，則傅里葉分析給出了近乎完美的結(jié)果。然而在自然界和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域還有大量信號(hào)，它們具有局部的或定域的特性。例如語(yǔ)音信號(hào)、聲納信號(hào)和各種電脈沖等，這些信號(hào)某時(shí)刻突然出現(xiàn)，并很快衰減到零，圖7.1-1給出了這樣一個(gè)信號(hào)s(

2、t)。圖7.1-1“小波”信號(hào)7.1.1短時(shí)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)局部化的一個(gè)簡(jiǎn)單而有效的方案是在傅里葉變換中加一個(gè)窗函數(shù)w(x)：(7.1-3)由傅里葉變換的乘積定理，在頻率域中,式(7.1-3)可表示為(7.1-4)窗函數(shù)的中心定義為(7.1-5)式中:(·，·)表示兩函數(shù)的內(nèi)積。窗函數(shù)的寬度則定義為(7.1-6)與空域窗函數(shù)中心xc和寬度Δw相對(duì)應(yīng)，存在頻率窗中心坐標(biāo)為(7.1-7)和頻率窗寬度(也稱為帶寬)為(7.1-8)當(dāng)Δw和ΔW都有限時(shí)，稱函數(shù)w(x)在空域和頻域同時(shí)局部化。乘積ΔwΔW稱為空間—頻率窗(簡(jiǎn)稱空—頻窗)，它限制了空域和

3、頻域中被處理區(qū)域的范圍。根據(jù)Δw和ΔW的定義式(7.1-6)和式(7.1-8)及測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式，有(7.1-9)7.1.2伽伯變換1946年,伽伯引入高斯型窗函數(shù)提出了形如下式的伽伯變換:(7.1-10)式中:σ和b為變換參數(shù)。式(7.1-10)可改寫為(7.1-11)如果把　　　　　　　　　　　　取為伽伯變換的基元函數(shù)，則伽伯變換可表示為內(nèi)積(7.1-12)顯然，伽伯變換就是高斯型窗短時(shí)傅里葉變換。窗函數(shù)中心坐標(biāo)xc=0，空域窗的寬度　　　　　　窗函數(shù)wσ(x)的傅里葉變換為(7.1-13)這也是高斯函數(shù)，頻率窗寬度　　　　　　　　　因此有

4、(7.1-14)以橫坐標(biāo)表示空間，縱坐標(biāo)表示頻率，可將空域和頻域在一個(gè)平面上同時(shí)表示出來(lái)，稱空—頻坐標(biāo)系?？铡l窗則表示為圖中的一個(gè)矩形。伽伯變換空—頻窗雖然可以在空—頻平面上移動(dòng)，但是當(dāng)參數(shù)σ確定之后，伽伯變換空間—頻率窗的高度和寬度都是恒定的，如圖7.1-2所示。圖7.1-2伽伯變換空間—頻率窗根據(jù)式(7.1-4)，伽伯變換在頻域的表達(dá)式為(7.1-15)伽伯變換具有下列特點(diǎn)：(1)它給出一個(gè)中心位于b，寬度為　　　的空間窗，從而實(shí)現(xiàn)空域處理的局部化；同時(shí)它又給出—個(gè)中心位于ν，寬度為　　　　　　的頻率窗，從而實(shí)現(xiàn)頻域處理的局部化。用伽伯

5、變換來(lái)處理信號(hào)時(shí)，處理過(guò)程限制在空—頻窗內(nèi)進(jìn)行，空—頻窗的面積為1/π。(2)根據(jù)式(7.1-10)和式(7.1-15)，伽伯變換可表示為(7.1-16)7.1.3Morlet小波變換為了克服伽伯變換中空—頻窗口尺寸不能變化的缺點(diǎn)，對(duì)伽伯變換中的基元函數(shù)進(jìn)行改造，我們把伽伯變換的基元函數(shù)作為變換的母函數(shù)，再引入?yún)?shù)a和b，生成子函數(shù)(7.1-17)定義信號(hào)函數(shù)f(x)的Morlet小波變換為(7.1-18)比較式(7.1-18)和式(7.1-10)可見(jiàn)，Morlet小波變換與伽伯變換的根本差別在于:小波變換的中心頻率為ν/a，隨參數(shù)的增大而

6、減小。容易算出小波變換的空間窗寬度為　　　　頻率窗寬度為　　　　　　　因此，當(dāng)中心頻率增大時(shí)(a減小)，空間窗寬度變小而頻率窗寬度增大，可以處理更多的高頻信息；當(dāng)中心頻率降低時(shí)(a增大)，頻率窗變小而空間窗加寬，可以容納足夠多的空間周期，以保證處理的精度。Morlet小波變換的空間—頻率窗如圖7.1-3所示。圖7.1-3Morlet小波變換的空間—頻率窗作為比較，圖7.1-4和圖7.1-5分別給出了在不同中心頻率下伽伯變換和Morlet小波變換的基元函數(shù)的波形。圖7.1-4伽伯變換基元函數(shù)的波形圖7.1-5Morlet小波變換基元函數(shù)的波形

7、7.2小波變換的一般定義和性質(zhì)7.2.1小波變換的定義母函數(shù)h(x)的基本小波函數(shù)ha，b(x)定義為(7.2-1)信號(hào)函數(shù)f(x)的小波變換定義為小波和信號(hào)f(x)的內(nèi)積，即(7.2-2)式(7.2-2)可改寫為(7.2-3)可見(jiàn)，信號(hào)函數(shù)f(x)的小波變換可表示為縮放后的母函數(shù)與信號(hào)函數(shù)的相關(guān)，母函數(shù)的中心位移則是相關(guān)函數(shù)的變量。由于相關(guān)運(yùn)算很容易用光學(xué)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，因此小波變換可以用大家熟知的光學(xué)相關(guān)系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。由小波變換的定義式(7.2-2)及互相關(guān)定理，容易得到小波變換在頻率域中的表達(dá)式(7.2-4)7.2.2逆變換和相容性條件小波變換

8、式(7.2-1)的逆變換定義為(7.2-5)其中，Ch必須滿足(7.2-6)相容性條件證明如下。根據(jù)傅里葉逆變換的性質(zhì)，基本小波函數(shù)ha,b(x)可表示為(7.2-