劉黎明 畢業(yè)論文

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1、MATLAB在級數(shù)問題求解中的應用摘要：MATLAB作為具有科學計算、符號運算和圖形處理的強有力實現(xiàn)工具，在科技高速發(fā)達的今天，各大公司、科研機構和高校都有著廣泛的運用。在本文中，先介紹了MATLAB和級數(shù)的歷史發(fā)展，然后充分地運用MATLAB軟件，針對級數(shù)求和、級數(shù)斂散性的判斷、級數(shù)收斂域的求解以及函數(shù)的級數(shù)展開等級數(shù)中常見的問題編寫了相關程序，并通過運行所編程序，得到了合理的答案。在文章末還通過建立M文件，針對級數(shù)的斂散性單獨編寫了繪圖程序，通過運行所編程序繪制出了級數(shù)的部分和的分布圖，通過所繪制的分布圖直觀的說明了級數(shù)

2、的斂散性。文章最后總結(jié)了運用MATLAB軟件求解級數(shù)問題的優(yōu)缺點。關鍵詞：MATLAB；級數(shù)；求和；斂散性；收斂域一、背景介紹（一）MATLAB介紹MATLAB是矩陣實驗室（MatrixLaboratory）的簡稱，是美國MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境，主要包括MATLAB和Simulink兩大部分。在科學研究和工程應用中，往往要進行大量的數(shù)學計算。為克服編制繁雜的程序等困難，美國Mathwork公司于1967年推出了“MatrixLab

3、oratory”（縮寫為Matlab）軟件包，并不斷更新和擴充。MATLAB和Mathematica、Maple并稱為三大數(shù)學軟件。它在數(shù)學類科技應用軟件中的數(shù)值計算方面首屈一指。作為具有科學計算、符號運算和圖形處理等多種功能的強有力實現(xiàn)工具，近年來MATLAB軟件包得到了學者的廣泛認可，并且其應用領域已經(jīng)拓展到了各行業(yè)的很多學科，在各大公司、科研機構和高校里日益普及，得到廣泛應用，其自身也因此得到了迅速發(fā)展，功能也不斷地進行了擴充。MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、連接其他編程語言的程序

4、等，主要應用于工程計算、控制設計、信號處理與通訊、圖像處理、信號檢測、金融建模設計與分析等領域。（二）級數(shù)介紹歷史上級數(shù)出現(xiàn)得很早。亞里士多德（公元前4世紀）就知道公比小于1（大于零）的幾何級數(shù)具有和數(shù)，N.奧爾斯姆（14世紀）還證明了調(diào)和級數(shù)發(fā)散到＋∞。事實上，從古希臘（阿基米德時代）以來，積分的樸素思想用于求積（面積、體積）問題時，就一直在數(shù)量計算上以級數(shù)的形式出現(xiàn)。6微積分在創(chuàng)立的初期還為級數(shù)理論的開展提供了基本的素材。它通過自己的基本運算與級數(shù)運算的純形式的結(jié)合，達到了一批初等函數(shù)的(冪)級數(shù)展開。這些基本觀點的運用

5、一直持續(xù)到19世紀初年，導致了豐碩的成果（主要歸功于歐拉、雅各布第一·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里葉）。同時，悖論性等式的出現(xiàn)促使人們逐漸地感覺到級數(shù)的無限多項之和有別于有限多項之和這一基本事實，注意到函數(shù)的級數(shù)展開的有效性表現(xiàn)為級數(shù)的部分和無限趨近于函數(shù)值這一收斂現(xiàn)象，提出了收斂定義的確切陳述，從而開始了分析學的嚴密化運動。微積分基本運算與級數(shù)運算結(jié)合的需要，引導人們加強或縮小收斂性而提出一致收斂的概念。然而在天文學、物理學中，甚至在柯西本人的研究工作中函數(shù)的級數(shù)展開，作為一整個函數(shù)的分析等價物，在收斂范圍以外不斷成功

6、的使用，則又迫使人們推廣或擴大收斂概念而提出漸近性與可和性。二、級數(shù)求和及斂散性判斷命令：（1）symsum(f(k),k)%結(jié)果為符號表達式f(k)中的符號變量k從0到k-1的和值；（2）symsum(f(k),k,a,b)%結(jié)果為符號表達式f(k)中的符號變量k從a到b的和值。注：若得到的結(jié)果為具體的數(shù)值，則表示該級數(shù)收斂；若得到的結(jié)果為inf，則表示該級數(shù)發(fā)散。例1：求級數(shù)的值，并判斷該級數(shù)的斂散性。解：在命令窗口輸入如下命令：運行結(jié)果為：由于級數(shù)，故該級數(shù)收斂。例2：證明級數(shù)。證明：在命令窗口輸入如下命令：運行結(jié)果為

7、：6既得。例3：判斷調(diào)和級數(shù)的斂散性。證明：在命令窗口輸入如下命令：運行結(jié)果為：所以調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的。三、級數(shù)收斂域的求解在求解級數(shù)收斂域的過程中，必須得先判斷級數(shù)的斂散性，當級數(shù)收斂時，可以先求出該級數(shù)收斂區(qū)間的端點，然后討論該級數(shù)在所求得端點處的斂散性，這樣也就確定了級數(shù)的收斂域，最后再求出該級數(shù)在收斂域上的和函數(shù)。例4：求級數(shù)的收斂域。解：為判斷該級數(shù)的斂散性，輸入以下命令得到比式極限表達式p：運行結(jié)果為：顯然，p的絕對值小于1，既得該級數(shù)收斂，為了求該級數(shù)的收斂域，可以輸入以下命令，先求出收斂區(qū)間的兩端點。運行結(jié)果為

8、：6既得到級數(shù)在區(qū)間（0,4）上收斂，下面再判斷該級數(shù)在兩端點處的斂散性，將x=0代入級數(shù)，輸入如下命令：運行結(jié)果為：即當x=0時，原級數(shù)變?yōu)?，顯然，該級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)在x=0處發(fā)散。將x=4代入級數(shù)，輸入如下命令：運行結(jié)果為：即當x=4時，原級數(shù)變?yōu)椋@然，該級數(shù)也發(fā)散，因此原級數(shù)在