利用MATLAB求解微積分的方法

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1、第3章(1)MATLAB微積分極限與級數(shù)的符號運算?MATLAB的極限與級數(shù)運算在符號系統(tǒng)中進行u極限運算llimit(f,x,a)求符號函數(shù)f的極限llimit(f,x,a,’right’)求符號函數(shù)f的右極限llimit(f,x,a,’left’)求符號函數(shù)f的左極限?說明：上述命令中的a可以是無窮大inf或-infp說明：多元函數(shù)的極限需要使用累次極限來計算?舉例u級數(shù)運算lsymsum(an,n,i,j)求符號通項an的和其中，當(dāng)j為無窮大inf時，即為無窮級數(shù)。?舉例u級數(shù)運算ltaylor(f,n,a,x)求符號函數(shù)f在點a關(guān)于變量x的n-1階泰勒多項式?舉例

2、ltaylortool泰勒工具?舉例微積分的符號運算u導(dǎo)函數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)-6-ldiff(f,x)求符號函數(shù)f對x的一階導(dǎo)函數(shù)或偏導(dǎo)函數(shù)ldiff(f,x,n)求符號函數(shù)f對x的n階導(dǎo)函數(shù)或偏導(dǎo)函數(shù)l注：diff是differential(微分)的縮寫?例：計算n問:如何求符號函數(shù)在給定點的導(dǎo)數(shù)值或偏導(dǎo)數(shù)值？求完導(dǎo)函數(shù)或偏導(dǎo)函數(shù)之后，使用符號替換命令subs可以求得導(dǎo)函數(shù)值或偏導(dǎo)函數(shù)值u不定積分與定積分lint(f,x)求符號函數(shù)f關(guān)于變量x的不定積分l注：int是integration(積分)的縮寫lint(f,x,a,b)求符號函數(shù)f關(guān)于變量x的定積分，a、b分別是積分

3、下限和上限，a、b可以是函數(shù)表達式，也可以是無窮大inf或-inf?舉例l對于定積分，當(dāng)系統(tǒng)求不出精確解時，如果被積函數(shù)中不含待定符號，可以使用vpa命令給出近似解例如：?symsx?a=int(sin(sin(x)),1,2)?vpa(a)p說明：l參數(shù)方程求導(dǎo)和隱函數(shù)求導(dǎo)需要使用相關(guān)數(shù)學(xué)公式（見教材66-67-6-頁）l重積分、曲線積分與曲面積分需要使用數(shù)學(xué)方法轉(zhuǎn)化為累次積分來計算微積分的數(shù)值運算u微積分的數(shù)值運算特點?采用數(shù)值算法，主要用于解決導(dǎo)數(shù)和定積分的近似計算問題?還可以解決離散數(shù)據(jù)的相關(guān)計算問題l實例：某河床的橫斷面如圖所示，試根據(jù)圖示的測量數(shù)據(jù)(單位:m)

4、，計算各測量點的坡度和橫斷面的面積。04101215222834401368953u數(shù)值導(dǎo)數(shù)lgradient(f,x)?該命令求一元函數(shù)f的數(shù)值導(dǎo)數(shù)f’(x)?其中，x是自變量的一組取值(離散數(shù)據(jù))，f是因變量的對應(yīng)取值(離散數(shù)據(jù))，計算結(jié)果是各離散數(shù)據(jù)點的導(dǎo)數(shù)值(近似解)。p說明：?x的取值越密集，得到的導(dǎo)數(shù)值就越精確。?該命令常用于求解離散型數(shù)據(jù)的變化率。l例：計算前例中的坡度x=[0,4,10,12,15,22,28,34,40];-6-f=[0,-1,-3,-6,-8,-9,-5,-3,0];fx=gradient(f,x)l例：求函數(shù)y=x2sinx在區(qū)間[-

5、3,3]的一階和二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)，作出原函數(shù)與一、二階導(dǎo)函數(shù)的圖形，并觀察函數(shù)的單調(diào)性、凹凸性、極值、拐點與一、二階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。?x=-3:0.01:3;f=x.^2.*sin(x);?fx=gradient(f,x)?fxx=gradient(fx,x)?plot(x,f,x,fx,'r--',x,fxx,'k--'),gridonp思考：怎樣求函數(shù)在指定點的數(shù)值導(dǎo)數(shù)？比如：上面函數(shù)在x=1.5和x=1.501的數(shù)值導(dǎo)數(shù)是多少？?f(find(x==1.5))或者f(x==1.5)?一般方法：[p,q]=min(abs(x-x0));f(q)u數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)l[fx,fy]

6、=gradient(f,x,y)?該命令求二元函數(shù)f的數(shù)值偏導(dǎo)數(shù)f’x和f’y?其中，x,y分別是自變量x和y的一組取值(向量表示)；f是定義在x-y平面點集區(qū)域上的函數(shù)值(矩陣表示)，平面點集區(qū)域可以使用meshgrid命令生成；fx和fy分別得到每個點處偏x和偏y的偏導(dǎo)數(shù)值(矩陣表示)。p說明：x和y的取值越密集，得到的偏導(dǎo)數(shù)值就越精確；該命令常用于求解離散型數(shù)據(jù)的方向?qū)?shù)、梯度、散度、旋度等。l舉例u數(shù)值定積分l梯形法數(shù)值積分：trapz(x,y)?其中x表示自變量在積分區(qū)間的一組取值，y表示被積函數(shù)對應(yīng)于x的一組函數(shù)值。l例：計算前面例題中的橫斷面積-6-x=[0

7、,4,10,12,15,22,28,34,40];y=[0,1,3,6,8,9,5,3,0];s=trapz(x,y)l例：求積分?解：x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);trapz(x,y)l高精度數(shù)值積分：quad(f,a,b)或quadl(f,a,b)?求函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的定積分，其中：f使用字符串函數(shù)表達式或內(nèi)聯(lián)函數(shù)，定義函數(shù)的乘、除、乘方時要使用點運算。積分限a、b必須是常量。?quad采用自適應(yīng)步長Simpson積分法?quadl采用高精度Lobatto積分法l例求積分?解：z=quadl('e