RS糾錯(cuò)編碼原理

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1、RS基本概念GF(2m)域域在RS編碼理論中起著至關(guān)重要的作用。簡單點(diǎn)說域有(設(shè)=q)個(gè)符號(hào)且具有以下性質(zhì):域中的每個(gè)元素都可以用a0,a1,a2,am-1的和來表示。除0、1外其余所有元素由本原多項(xiàng)式P(x)生成。本原多項(xiàng)式的特性是得到的余式等于0。在糾錯(cuò)編碼運(yùn)算過程中,加、減、乘和除的運(yùn)算是在伽羅華域中進(jìn)行在GF域上的加、減、乘、除運(yùn)算定義如下(GF()為例):1、加、減運(yùn)算均定義為元素的二進(jìn)制表示方式進(jìn)行異或運(yùn)算。如:a8+a10,先查表,將其化為二進(jìn)制表示方式得0101+0111,經(jīng)過異或運(yùn)算得

2、0010,再查表得a1,即:a8+a10=a1。減運(yùn)算與加運(yùn)算相同,即:a8-a10=a1。2、乘運(yùn)算定義為元素的指數(shù)相加后進(jìn)行模15運(yùn)算后所得的新元素,但若有一個(gè)元素為0,則相乘結(jié)果為0。如:a7*a13,(7+13)mod15=5,即a7*a13=a5。3、除運(yùn)算定義為元素的指數(shù)相減后進(jìn)行模15運(yùn)算后所得的新元素(指數(shù)為正數(shù))。若被除數(shù)為0,則結(jié)果為0。如:a5/a9,(5-9)mod15=11,即a5/a9=a11。下面以一個(gè)較簡單例子說明域的構(gòu)造。GF()的所有元素例:m=4,本原多項(xiàng)式求GF(

3、)的所有元素:因?yàn)棣翞閜(x)的根得到=0或(根據(jù)運(yùn)算規(guī)則)由此可以得到域的所有元素元素多項(xiàng)式表示二進(jìn)制表示十六進(jìn)制表示0000000a0100011a1a00102a2a201004a3a310008a4a+100113a5a2+amodp(a)01106a6a3+a2modp(a)1100Ca7a3+a+1modp(a)1011Ba8a2+1modp(a)01015a9a3+amodp(a)1010Aa10a2+a+1modp(a)01117a11a3+a2+1modp(a)1110Ea12a3+a

4、2+a+1modp(a)1111Fa13a3+a2+1modp(a)1101Da14a3+1modp(a)10019符號(hào)(n,k)RS在介紹之前需要說明一些符號(hào)。在域中,符號(hào)(n,k)RS的含義如下:m表示符號(hào)的大小,如m=8表示符號(hào)由8位二進(jìn)制數(shù)組成n表示碼塊長度,k表示碼塊中的信息長度K=n-k=2t表示校驗(yàn)碼的符號(hào)數(shù)t表示能夠糾正的錯(cuò)誤數(shù)目RS的編碼算法本項(xiàng)目RS糾錯(cuò)算法選擇在域上的RS(15,11)碼,碼長n=15字符,碼元長k=11字符,碼距d=5,糾錯(cuò)能力t=2字符,每字符為4bits,即一

5、個(gè)碼組合7.5字節(jié)。每11個(gè)有效字節(jié)加4個(gè)糾錯(cuò)字節(jié)。每一幀報(bào)文分成若干組,以11個(gè)字節(jié)為一組,對(duì)這11個(gè)字節(jié)作糾錯(cuò),生成4字節(jié)里德-所羅門碼糾錯(cuò)碼,和前11個(gè)字節(jié)一起共15個(gè)字節(jié)構(gòu)成糾錯(cuò)后的一組報(bào)文。一幀報(bào)文以每11個(gè)字節(jié)分組后,若最后一組字節(jié)數(shù)不滿11個(gè)字節(jié),剩余字節(jié)填77H,湊滿11個(gè)字節(jié)再進(jìn)行糾錯(cuò)。對(duì)一個(gè)信息碼符多項(xiàng)式,RS校驗(yàn)碼生成多項(xiàng)式的一般形式為(13-2)式中,m0是偏移量,通常取K0=0或K0=1,而(n-k)≥2t(t為要校正的錯(cuò)誤符號(hào)數(shù))。對(duì)于R(15,11)對(duì)應(yīng)生成多項(xiàng)式為g(x)

6、=信息碼符多項(xiàng)式為(13-3)并假設(shè)RS校驗(yàn)碼的4個(gè)符號(hào)為Q3Q2Q1和Q0,的剩余多項(xiàng)式為這個(gè)多項(xiàng)式的階次比的階次少一階。如果K0=1,t=1,由式(13-2)導(dǎo)出的RS校驗(yàn)碼生成多項(xiàng)式就為=(13-4)根據(jù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,由式(13-3)和式(13-4)可以得到M(x)+R(x)=Q(x)當(dāng)用代入上式時(shí),得到下面的方程組,令=n0=n1=n2=n3解得:====RS碼的糾錯(cuò)算法RS碼的錯(cuò)誤糾正過程分三步:(1)計(jì)算校正子(syndrome),(2)計(jì)算錯(cuò)誤位置,(3)計(jì)算錯(cuò)誤值?,F(xiàn)以例13.3為例介

7、紹RS碼的糾錯(cuò)算法。1、求出校正子:對(duì)于一組接收到的數(shù)據(jù):接收到的數(shù)據(jù):6831003100684b05350100b72a55dc分兩小組:0806010300000103000008070b0a02(I-1)060b04050005030100000005050c0d(I-2)對(duì)應(yīng)r14……r0代入上式求出s1,s2,s3,s4(sj);2、判斷若Sj(j=1,2,3,4)均為0,則無錯(cuò);否則執(zhí)行下面的步驟以求出錯(cuò)值及位置。3、求出錯(cuò)位多項(xiàng)式d(x)=dz2x2+dz0x+dz1=0的根,即為錯(cuò)值位

8、置,其中:若dz2=0,則只有一個(gè)根x1=s3/s2。否則用代入法求出x1,x2,即把x的所有15個(gè)可能值代入錯(cuò)位多項(xiàng)式,若結(jié)果為0,則即是一個(gè)根。4、求出錯(cuò)值ew1,ew2。若dz2=0,ew=s12/s2,否則1、糾錯(cuò)時(shí)在對(duì)應(yīng)的x=ay,r(14-y)處,加上對(duì)應(yīng)錯(cuò)值即可完成糾錯(cuò)。如根為x1=a3,x2=a8,ew1=a4,ew2=a7,則在r(14-3)=r(11)上加ew1即a4,在r(14-8)=r(6)上加ew2即a7后所得的數(shù)

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