量子力學(xué)基本假設(shè)

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1、§1.2量子力學(xué)基本假設(shè)量子力學(xué)是描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)。微觀體系遵循的規(guī)律叫量子力學(xué)，因?yàn)樗闹饕卣魇悄芰苛孔踊Ａ孔恿W(xué)和其他許多學(xué)科一樣，建立在若干基本假設(shè)的基礎(chǔ)上。從這些基本假設(shè)出發(fā)，可推導(dǎo)出一些重要結(jié)論，用以解釋和預(yù)測(cè)許多實(shí)驗(yàn)事實(shí)。經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)實(shí)踐的考驗(yàn)，說明作為量子力學(xué)理論基礎(chǔ)的那些基本假設(shè)的是正確的。Schr?dinger，Heisenberg，Born&Dirac等人為量子力學(xué)的建立做出了突出貢獻(xiàn)。§1.2.1波函數(shù)和微觀粒子的狀態(tài)1.假設(shè)Ⅰ對(duì)于一個(gè)微觀體系，它的狀態(tài)和有關(guān)情況可用波函數(shù)?(

2、x,y,z,t)表示。?稱為體系的狀態(tài)函數(shù)（簡(jiǎn)稱態(tài)），它包括體系所有的信息。例：一個(gè)粒子的體系，其波函數(shù)：ψ=ψ(x,y,z,t)或ψ=ψ(q,t)三個(gè)粒子的體系，其波函數(shù)：ψ=ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,t)或ψ=ψ(q1,q2,q3,t)簡(jiǎn)寫為ψ=ψ(1,2,3,t)在時(shí)刻t，粒子出現(xiàn)在空間某點(diǎn)(x,y,z)的幾率密度與

3、?(x,y,z)

4、2成正比。因此，?又稱為幾率密度函數(shù)。2.定態(tài)波函數(shù)不含時(shí)間的波函數(shù)?(x,y,z)稱為定態(tài)波函數(shù)。?有實(shí)函數(shù)和復(fù)函數(shù)兩種形式?的復(fù)函數(shù)形式：?

5、＝f＋ig。（f,g為實(shí)函數(shù)，不是簡(jiǎn)單的常數(shù)）

6、?

7、2=?*?＝(f-ig)(f+ig)=f2＋g2因此

8、?

9、2=?*?是實(shí)函數(shù)，且為正值。對(duì)于定態(tài)（幾率密度與能量不隨時(shí)間改變的狀態(tài)）

10、?(x,y,z,t)

11、2=

12、?(x,y,z)

13、2則?的形式必為：與相比，只差一個(gè)因子因?yàn)榛瘜W(xué)中多數(shù)問題是定態(tài)問題（與靜態(tài)性質(zhì)相聯(lián)系），所以在多數(shù)情況下，就把?(x,y,z,t)的空間部分?(x,y,z)稱為波函數(shù)。例：證明與所描述的幾率密度分布是相同的.證明：?(x,y,z)?◆在原子、分子等體系中，將?稱為原子軌道或分子軌道◆幾率

14、密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)找到電子的幾率，即?*?；◆幾率：空間某點(diǎn)附近體積元d?中電子出現(xiàn)的概率，即?*?d?；◆電子云：用點(diǎn)的疏密表示單位體積內(nèi)找到電子的幾率,與?*?是一回事。用量子力學(xué)處理微觀體系，就是要設(shè)法求出?的具體形式3.合格波函數(shù)（品優(yōu)波函數(shù)）由于

15、?

16、2描述的是幾率密度，所以合格（或品優(yōu)）波函數(shù)?必須滿足三個(gè)條件：①單值的，即在空間每一點(diǎn)?只能有一個(gè)值；②連續(xù)的，即?的值不能出現(xiàn)突躍；?(x,y,z)對(duì)x,y,z的一級(jí)微商也應(yīng)是連續(xù)的；③平方可積的（有限），即?在整個(gè)空間的積分∫?*?d?應(yīng)為一有限值，通常

17、要求波函數(shù)歸一化，即∫?*?d?＝1。波函數(shù)的歸一化：令歸一化系數(shù)或因子此過程稱為波函數(shù)的歸一化例.指出下列那些是合格的波函數(shù)(粒子的運(yùn)動(dòng)空間為0?∝)(a)sinx；(b)e-x；(c)1/(x-1)；(d)f(x)=ex(0≤x≤1)，f(x)=1(x＞1)解答:(b)是合格的波函數(shù)§1.2.2力學(xué)量和算符1.算符(Operator)對(duì)某一函數(shù)進(jìn)行一種運(yùn)算或一種操作或一種變換的數(shù)學(xué)符號(hào)。例如：∫dx;∑;√;exp;d/dx;d2/dx2一般情況下，一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)的結(jié)果是得到另一個(gè)函數(shù)線性算符：若算符?

18、對(duì)任意函數(shù)f(x)和g(x)滿足：?[f(x)+g(x)]=?f(x)+?g(x)則算符?稱為線性算符。例如：∫dx;∑;d/dx;d2/dx2厄米算符（Hermite）：若算符?滿足∫?1*??2d?＝∫?1(??2)*d?或∫?1*??2d?＝∫?2(??1)*d?則算符?稱為厄米算符，又稱為自共軛算符或自軛算符。線性厄米算符：例：?＝id/dx→線性算符取函數(shù)?1＝exp(ix)，?1*＝exp(-ix)，則：∫?1*??1dx＝∫exp(-ix)(id/dx)exp(ix)dx＝∫exp[-ix](-exp

19、[ix])dx＝-x∫?1(??1)*dx＝∫exp(ix)[(id/dx)exp(ix)]*dx＝∫exp[ix](-exp[ix])*dx＝-x所以?是線性厄米算符2.假設(shè)II：對(duì)一個(gè)微觀體系的每個(gè)可觀測(cè)的力學(xué)量，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)線性厄米算符。部分可觀測(cè)的力學(xué)量對(duì)應(yīng)的算符力學(xué)量算符力學(xué)量算符位置x，時(shí)間t勢(shì)能V動(dòng)量的x軸分量px動(dòng)能T=p2/2m角動(dòng)量的z軸分量總能量E=T+V§1.2.3本征態(tài)、本征值和Schr?dinger方程1.假設(shè)Ⅲ：若某一力學(xué)量A對(duì)應(yīng)的算符?作用于某一狀態(tài)函數(shù)?后，等于某一常數(shù)a乘以?，即

20、??＝a?，那么對(duì)?所描述的這個(gè)微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量A具有確定的數(shù)值a，a稱為力學(xué)量算符?的本征值，?稱為?的本征態(tài)或本征函數(shù)，??＝a?稱為?的本征方程。2.力學(xué)量對(duì)應(yīng)算符的由來一維空間運(yùn)動(dòng)的自由粒子的deBroglie波函數(shù)：?(x,t)=Aexp[(2?i/h)(pxx-Et)]令：?=h/2?；則：?(x,t)=Aexp[(i/?)(pxx-Et