2、,≤>是格，則也是格，反之亦然。這是因為，對于L中任意a和b，中l(wèi)ub{a,b}等同于中glb{a,b}，中glb{a,b}等同于中的lub{a,b}。若L是有限集，這些性質易從偏序集及其對偶的哈斯圖得到驗證。從上討論中，可知兩格互為對偶?；閷ε嫉膬蓚€和有著密切關系，即格中交運算?正是格中的并運算?，而格中的并運算?正是格中的交運算?。因此，給出關于格一般性質的任何有效命題，把關系≤換成≥（或者≥換成≤），交換成并，并換成交，可得到另一個有效命題，這就是關于格的對
3、偶性原理。定義9.1.2設是格，且S?L。若對任意a,b?S，有a*b?S和a?b?S，則稱是格的子格。2．格的基本性質在證明格的性質前，回憶一下a*b和a?b的真正含義是有好處的。①a*b≤a和a?b≤b，則表明a*b是a和b的下界。②若c≤a和c≤b，則c≤a*b，這表明a*b是a和b的最大下界。①’a≤a?b和b≤a?b，則表明a?b是a和b的上界。②’若a≤c，且b≤c，則a?b≤c，這表明a?b是a和b的最小上界。定理9.1.1設是格，對任意a,b?L，有①a?b=b?a≤b②a*b=a?a≤b③a*b=a?a?b=b亦即a
4、≤b?a?b=b?a*b=a定理9.1.2設是格，對任意a,b?L，有①a*b=a,a?a=a。（冪等律）②a*b=b*a,a?b=b?a。（交換律）③a*(b*c)=(a*b)*ca?(b?c)=(a?b)?c（結合律）④a*(a?b)=aa?(a*b)=a（吸收律）定理9.1.3設是格，對任意a,b,c?L，有①若a≤b和c≤d，則a*c≤b*d，a?c≤b?d。②若a≤b，則a*c≤b*c，a?c≤b?c。③c≤a和c≤bc≤a*b④a≤c和b≤ca?b≤c定理9.1.4設是格，對任意的a,b,c?L，有a?(b*c)≤(a?b)*(a?
5、c)(a*b)?(a*c)≤a*(b?c)通常稱上二式為格中分配不等式。定理9.1.5設是格，對任意的a,b,c?L，有a≤c?a?(b*c)≤(a?b)*c推論：在格中，對任意的a,b,c?L，有(a*b)?(a*c)≤a*(b?(a*c))a?(b*(a?c))≤(a?b)*(a?c)3．特殊的格定義9.1.3設是格，若L中有最大元和最小元，則稱為有界格。一般把格中最大元記為1，最小元記為0。由定義可知，對任意a?L，有0≤a≤1a*0=0,a?0=aa*1=a,a?1=1定理9.1.6設是有限格，其中L={a1,a2,
6、···,an}，則是有界格。定義9.1.4設是有界格，對于a?L，存在b?L，使得a*b=0，a?b=1稱b為a的補元，記為a’。由定義可知，若b是a的補元，則a也是b的補元，即a與b互為補元。顯然，0’=1和1’=0，且易證補元是唯一的。一般說來，一個元素可以有其補元，未必唯一，也可能無補元。定義9.1.5設是格，對任意的a,b,c?L，有①a*(b?c)=(a*b)?(a*c)②a?(b*c)=(a?b)*(a?c)則稱為分配格，稱①和②為格中分配律。定義9.1.6設是格，對任意的a,b,c?L，有a≤c?a?(b*c)
7、=(a?b)*c稱為模格。定理9.1.7分配格是模格定理9.1.8每個鏈都是分配格。定理9.1.9一個格為分配格，當且僅當它不含有任何子格與這兩個五元素格中任一個同構。定理9.1.10設是分配格，對任意a,b,c?L，有(a*b=a*c)且(a?b=a?c)?b=c定理9.1.11設是有界分配格，若a?L，且補元存在，則其補元是唯一的。定義9.1.7設是格，若L中每個元素至少有一補元，則稱為有補格。由于補元的定義是在有界格中給出的，可知，有補格一定是有界格。定義9.
