3、在每一點(diǎn)都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端高，則至少存在i條水平線.定理2.2拉格朗日中值定理若函數(shù)/滿足如下條件：(1)/在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)；(2)/*在開(kāi)區(qū)間(。,方)內(nèi)可導(dǎo);則在至少存在一點(diǎn)歹，使得化)=件型⑵b-a顯然,特別當(dāng)f(a)=f(b)時(shí)，木定理的結(jié)論即為羅爾屮值定理的結(jié)論，這表明羅爾屮值定理是拉格朗口屮值定理的一個(gè)特殊情形.證明：作輔助函數(shù)b-a?(x_a)顯然,f(q)=F0)(=0),HF在⑺,創(chuàng)上滿足羅爾屮值定理的另兩個(gè)條件.故存在，使得尸(幻=八⑷=0,b-a移項(xiàng)后即得到所要證明的(2)式.拉格朗F
4、I中值定理的兒何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線y=/(%)_上至少存在一點(diǎn)pH，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線ab,我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線y=f(x)與直線ABy=/(d)+/(?_S(—d))之差.b-a定理1.2的結(jié)論(公式(2))稱為拉格朗口公式.拉格朗H公式還有下面幾種等價(jià)表示形式:f(b)-/?)=廣(g)(b-a),a《b；(3)f(b)—f(a)=ff(a+0(b-a))(b-a),O<0b都
5、成立，而g則是介于d與b之間的某一顯然,f(q)=F0)(=0),HF在⑺,創(chuàng)上滿足羅爾屮值定理的另兩個(gè)條件.故存在，使得尸(幻=八⑷=0,b-a移項(xiàng)后即得到所要證明的(2)式.拉格朗FI中值定理的兒何意義是：在滿足定理?xiàng)l件的曲線y=/(%)_上至少存在一點(diǎn)pH，該曲線在該點(diǎn)處的切線平行于曲線兩端的連線ab,我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù)，正是曲線y=f(x)與直線ABy=/(d)+/(?_S(—d))之差.b-a定理1.2的結(jié)論(公式(2))稱為拉格朗口公式.拉格朗H公式還有下面幾種等價(jià)表示形式:f(b)-/?)=廣(g)(b-a),a
6、《b；(3)f(b)—f(a)=ff(a+0(b-a))(b-a),O<0b都成立，而g則是介于d與b之間的某一定數(shù)?而(4)、(5)兩式的特點(diǎn)在丁?把中值點(diǎn)歹表示成了Q+&(b-Q)，使得不論sb為何值,&總可為小于1的某一正數(shù).定理2.3柯西中值定理設(shè)函數(shù)/和g滿足：⑴在［a,b］上都連續(xù)；⑵在⑺")內(nèi)都可導(dǎo)；(3)廣(兀)和g'O)不同時(shí)為零;⑷g(d)Hg(b),(6)則存在§w(a,b),使得g'(§)g(b)-g(a
7、)證明：作輔助函數(shù)F(x)=/(兀)-/⑺)—兀?一/繆?(g(兀)-g@))g(b)-g(a)易見(jiàn)F在上滿足羅爾中值定理的條件，故存在ge(a9b),使得/的-/(a)g(b)-g(a)gW=0因?yàn)間'@)=o(否則由上式廣(§)也為零)，所以可把上式改寫成(6)式.結(jié)論：由上述證明可知,拉格朗H中值定理和柯西中值定理都可以借用羅爾中值定理來(lái)證明，口羅爾中值定理是拉格朗H中值定理的特殊情況.柯西小值定理有著?前兩個(gè)中值定理相類似的幾何意義,只是現(xiàn)在要把/,g這兩個(gè)函數(shù)當(dāng)作以x為參量的參量方程(u=g(x)在MOV平血上表示一段曲線.
8、山于(6)式右邊的‘9)—‘⑺)表示連接曲線兩端的弦AB的斜率，而(6)式左邊的g(b)-g(a)厶⑷=竺」則表示該曲線上與X=§相對(duì)應(yīng)的一點(diǎn)(g?,/⑷)處的切線的斜率，因此g⑴du5(1)式即農(nóng)示上述切線與弦AB互相
