流體流動的特性

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1、本章主要內(nèi)容有：1.流體運(yùn)動的研究方法、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)、流線、跡線的概念。2.流體運(yùn)動學(xué)的物面條件、自由面條件。3.流體微團(tuán)運(yùn)動的分析、速度分解定理。4.有旋運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征、流函數(shù)的性質(zhì)。5.無旋運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征、勢函數(shù)的性質(zhì)。理想流體運(yùn)動速度場的基本解和定解條件。§1流體運(yùn)動的研究方法、質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)、流線、跡線1.Lagrange’sandEuler’smethod質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)位置a,b,cL：其中：a,b,c稱為L變數(shù)。E：2.DerivationofmasspointL：(a,b,c為常量)。E：故有：其中：——為質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)算子。3.流線和跡線(1)跡線L：或：E：即：兩種方法可互相轉(zhuǎn)換，本質(zhì)

2、相同。(2)流線L法無流線概念。E：§2邊界條件——物面條件流體線：——由一群流體質(zhì)點(diǎn)組成的曲線。流體線在運(yùn)動過程中具有保持性。光滑流體面也具有保持性。1.物面方程例1：如圖所示，試求物面方程。橢球x’(動標(biāo))V0y’z’yxz解：取固結(jié)與物面的動坐標(biāo)有：因?yàn)椋捍氲茫核裕?.物面條件由保持性——物面上的流體質(zhì)點(diǎn)始終保持在物面上。t1t2t1理想流體粘性流體對于粘性流體：若物面靜止，則有：對于理想流體：因?yàn)椋核裕?.光滑流體面物面條件若物面方程為：則物面條件為：或：§3流體微團(tuán)運(yùn)動分析，速度分解定理流體微團(tuán)的運(yùn)動，其一般形式如下：即：如圖所示，t瞬時(shí)，速度t+dt瞬時(shí)，速度oB即：

3、故有Helmholtz速度分解定理：或其中：其分量：——旋轉(zhuǎn)角速度矢量。物理意義（如圖所示）：其中：為線變形速率：單位時(shí)間內(nèi)流體線的相對伸長。剪切角變形速率：單位時(shí)間內(nèi)微元體角變形之半?？紤]轉(zhuǎn)動方向時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)微元體旋轉(zhuǎn)角之和的一半。旋轉(zhuǎn)角速度分量§4有旋運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)特征1.基本概念1)渦量，都反映流體質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方向。2)渦線、渦管（Vortexline,tube）渦線方程或：3)渦通量（Vortexflux）（渦管強(qiáng)度）：對于微小的渦管：4)速度環(huán)量如l為可縮曲線，則有：5)渦量的質(zhì)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)因?yàn)椋阂虼丝傻茫簩铀俣热⌒鹊茫浩渲校阂蚨校鹤詈笥校?.渦管強(qiáng)度定理（Stokes

4、定理）證明：l1l2A1A2A3τ又：故有：或：從上式可以看出：上式稱為湯姆遜(WilliamThomson)定理(LordKelvin)。其本質(zhì)和Stokes定理相同。對于微元渦管，可近似寫成：結(jié)論：1）同一個(gè)微元渦管A↓→↑。2）渦管截面不可能收縮為零。所以：渦管要么環(huán)形，要么始于邊界，終于邊界，要么伸展到無窮遠(yuǎn)。3.封閉流體線速度環(huán)量對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)等于加速度環(huán)量即：證明：證畢。§5無旋流動的運(yùn)動學(xué)特征無旋：1.特點(diǎn)1)只有理想流體才有無旋運(yùn)動（粘性流體必有旋）。2)無旋則有勢：3)不可壓，φ滿足Laplace方程：4)無旋則加速度有勢。無旋：所以：——加速度勢。2.Φ的性質(zhì)1）2）

5、如l為任意可縮閉曲線，則有：推論：對于多連域：a)若l可縮，則：，φ為單值函數(shù)；b)若l不可縮，則：，φ為多值函數(shù)。此時(shí)計(jì)算要采用雙回路方法?！?不可壓無旋速度場的定解條件方程：定解條件：不需要初始條件，只需邊界條件，如下表。有界單連無界單連有界雙連無界雙連①內(nèi)、外邊界給定φ內(nèi)φ和總QΦ（給定Γ0）φ和總Q②內(nèi)、外邊界給定內(nèi)和總Q+Γ0(或Qb)+Γ0③部分邊界φ部分邊界部分φ部分+Q（條件部分φ部分+Γ0部分φ+Q(或Γ)部分對單連域：若：流量：對于固定邊界，實(shí)際應(yīng)用最多的是第二類邊界條件。xyox0U(t)例2：大球殼R=a2內(nèi)，有小球r=a1，小球作直線運(yùn)動，試建立定解條件。解：

6、理想、無旋、不可壓有：（a）對于球?yàn)橛薪鐔芜B，若為平面，則為有界雙連，此時(shí)求解需附加環(huán)量條件。邊界條件：——為第二類邊界條件。外球：物面方程：內(nèi)球：邊界：或：外球：即：(b)內(nèi)球：即：（a）、（b）、（c）三式構(gòu)成了上述問題的定解問題。（c）αxy例3：勢流的外部繞流問題，如圖所示。試建立定解條件。解：域的性質(zhì)：空間為無界單連；平面為無界雙連?，F(xiàn)假設(shè)為平面問題：方程：邊界條件：物面條件：（固定邊界）無窮遠(yuǎn)：環(huán)量：進(jìn)一步討論：把解分成兩部分：所以：無窮遠(yuǎn)：物面：環(huán)量：§7給定速度旋度和散度的運(yùn)動學(xué)問題方程：現(xiàn)只考慮單連域的求解條件。邊界條件：方程的求解處理：將分成三個(gè)部分，即：是有源無旋

7、的一個(gè)特解；是有旋無源的一個(gè)特解；是無旋無源的一個(gè)特解（勢流解），即：故有：（a）（b）（c）例4：不可壓流場，已知：物面：包括上、下壁和柱面，且滿足：試給出定解條件。解：求解仍可分成三項(xiàng)：求特解：求通解：邊界條件：柱面：上、下壁面：§8給定速度散度場的無旋流動1.點(diǎn)源、匯若q集中于一點(diǎn)：源或匯。且有：（體積流量）除原點(diǎn)外：可采用球坐標(biāo)R,θ,ε進(jìn)行求解.流場球?qū)ΨQ，與θ,ε無關(guān)，此時(shí)有：積分得：由：Q為負(fù)——源；為正——匯。若當(dāng)源不在原點(diǎn)，則