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《生物醫(yī)學信號處理6》由會員上傳分享,免費在線閱讀,更多相關內容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、1第七章功率譜估計的現代方法——現代譜估計2經典譜估計以傅立葉變換為基礎,具有計算效率高的優(yōu)點,但是由于將未觀測數據認為0和數據加窗,而具有頻率分辨率低、旁瓣泄漏等嚴重的缺陷。現代譜估計與經典譜估計不同,它以參數模型為基礎,能夠得到小方差和高分辨率,特別是數據長度很短的情況,更具優(yōu)勢?!?.1概述3現代譜估計法的基本思想:處理步驟:1確定或選擇一個合適的模型—依賴于對所研究隨機過程進行理論分析和實驗研究;2根據觀測數據估計模型參數—涉及各種算法的研究;3由模型參數計算功率譜。關鍵1、模型選擇問題(AR,MA,ARMA)2、參數確定方法(導致產生了各種算法)4§7.2自回
2、歸模型(AR)譜估計數字系統的數學模型:有理分式傳遞函數的模型如下圖:w(n)x(n)式中ak為自回歸系數,稱為AR系數;bk為滑動平均系數,稱為MA系數。模型傳遞函數為:5有理分式傳遞函數的模型的差分方程為:令a0=1有:w(n)為高斯白噪聲,6求功率譜的實質變?yōu)榇_定系統參數的問題模型的功率譜密度:即系統輸出功率譜和輸入功率譜之間關系為(假定h(n)為實序列):7如果除b0外其它的MA系數都等于0,即AR(p)模型全極點模型8自回歸模型9如果除a0外其它的AR系數都等于0,即全零點模型MA(q)模型10如果除a0=1和b0=1外其它的AR系數和MA系數都不全等于0,即稱
3、為ARMA(p,q)模型,即極點-零點模型。11到底選擇什么模型?三種模型之間關系如何?—Word分解定理Wold分解定理:任何一個有限方差的平穩(wěn)ARMA過程可以分為完全隨機的部分和確定的部分。推論:任何有限方差的ARMA或MA平穩(wěn)過程可以用一個無限階的AR模型表示;同樣,任何ARMA或AR模型可以用一個無限階的MA模型表示。因此,如果在這三個模型中選了一個與信號不匹配的模型,利用高的階數仍然可以得到對信號的好的逼近。12結論:由于對AR模型參數的估計,得到的是線性方程。故AR模型比ARMA以及MA模型有計算上的優(yōu)點,即只需解一組線性方程,而ARMA或MA模型一般需要解一
4、組非線性方程。同時,實際的物理系統往往是全極點系統。AR模型得到了深入的研究和廣泛的應用。13已知:自相關函數要求:AR模型的階數p,以及p個AR參數a(i),激勵源方差Yule-Walker方程§7.3AR模型的Yule-Walker方程147.3.1Yule-Walker方程的推導1.對進行求逆z變換2.直接由模型差分方程推導,把模型的差分方程代入x(n)的自相關函數15如何根據自相關函數確定系統參數16可見,AR模型輸出信號的自相關函數具有遞推性質,即:Yule-Walker方程(Y-W方程)17選擇m>0的前P個方程并寫成單一正規(guī)矩陣的形式為:以上利用了自相關函數
5、的偶對稱性。Y-W方程表明:只要已知輸出平穩(wěn)隨機信號的自相關函數,就能求出AR模型中的參數{ak},并且需要的觀測數據較少。18AR模型譜估計N個樣值x(0),x(1)…x(N)自相關函數R(0),R(1)..R(N)AR模型參數和a1,a2,…,ap激勵源方差功率譜密度Y-W方程19Yule-Walker方程的求解1、采用高斯消元法,解線性方程組常用方法,運算量數量級為p的三次方。2、用Levinson-Durbin算法,Y-W方程的高效解法,即按階次進行遞推運算量數量級為p的二次方。7.3.2Levinson-Durbin算法20Levinson-Durbin遞推算法
6、:算法的關鍵就是要推導出由第K階AR模型的參數計算第k+1階AR模型AR(k+1)參數的迭代計算公式。首先以AR(0)和AR(1)模型參數作為初始條件,計算AR(2)模型參數,然后根據這些參數計算AR(3)模型參數,等等,一直到計算出AR(p)模型參數為止。212223遞推公式為:其中akk稱為反射系數將所估計的模型參數代入即可計算功率譜估計值:24AR模型參數和a1,a2,…,ap激勵源方差功率譜密度AR模型譜估計25給定初始值和AR模型的階數p,可按照L-D算法流程進行估計,流程終止規(guī)則為或MATLAB里有專門實現L-D算法的函數可估計AR模型參數:[aE]=aryu
7、le(x,p),a為模型參數,E為噪聲方差。※分析:⑴AR模型的穩(wěn)定性;⑵L-D算法的收斂性。26例5-1、已知實數據序列的自相關為:用Levinson-Durbin遞推算法求AR模型的參量:解:2728一、AR模型的穩(wěn)定性具有下面性質:H(z)全部的極點在單位圓內自相關矩陣正定激勵信號方差隨階次增加而遞減7.3.3確定AR模型的階29階太低,功率譜平滑的太厲害,平滑后的譜分辨不出真實譜中的兩個峰;階太高,可以提高譜估計的分辨率,但會出現許多虛假譜峰。真實譜虛假譜峰二、有關AR模型的階的問題:30所以,估計一個AR(p)過程,