基于對偶模型下閾值分紅策略的分析

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1、目錄中文摘要I英文摘要II1緒論11.1風(fēng)險模型11.2分紅策略以及Gerber-Shiu函數(shù)31.2.1分紅策略的介紹31.2.2Gerber-Shiu函數(shù)41.3預(yù)備知識51.4本文的主要內(nèi)容62閾值紅利策略下帶常利率的對偶風(fēng)險模型72.1引言72.2卩⑦力）的積分?微分方程82.2.1方程的導(dǎo)出82.2.2收益服從指數(shù)分布時的顯示解92.3一般分布的拉普拉斯變換102.4和％（"；〃）的積分?微分方程122.5Gerber?Shiu折現(xiàn)圖金函數(shù)143閾值紅利策略下帶擾動的對偶風(fēng)險模型.173.1引言17M(u,y;b)和Vfl(u;b)的積

2、分■微分方程183.3關(guān)于yg的更新方程203.4Gerber?Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)233.23?5破產(chǎn)概率及其顯示解24重慶大學(xué)碩士學(xué)位論文目錄4總結(jié)與展望284.1論文總結(jié)284.2展望28致謝29參考文獻30附錄33A.作者碩士期間完成的論文目錄331緒論在精算數(shù)學(xué)的范疇內(nèi)，破產(chǎn)論是風(fēng)險理論中的核心內(nèi)容。它主要用于處理保險業(yè)務(wù)屮的隨機風(fēng)險模型，分析和研究保險公司的經(jīng)營狀況以確保其運營的安全性。風(fēng)險理論主要是建立在一系列符合現(xiàn)實條件的假設(shè)下，考慮影響保險公司資金流動的因素進行數(shù)學(xué)建模，再利用微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計以及隨機過程等數(shù)學(xué)知識對模

3、型進行研究分析，從而為保險公司的決策層對公司的風(fēng)險決策提供重要理論依據(jù)。早期的對于風(fēng)險理論的研究主要集中在破產(chǎn)理論。近年來，隨著精算學(xué)的不斷發(fā)展以及對風(fēng)險理論的研究不斷深入，特別是Lundberg-Cramer經(jīng)典風(fēng)險模型問世之后，越來越多的科研人員參與到風(fēng)險理論的研究領(lǐng)域。于是，針對風(fēng)險理論的研究范圍越來越廣泛并提出一些重要的風(fēng)險模型，理論基礎(chǔ)逐步完善以及更多的數(shù)學(xué)知識在該領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用。女山DeFinetti111^次在經(jīng)典風(fēng)險模型的研究中考慮了分紅策略并得到了一些重要的理論結(jié)果；國際著名的精算大師Gerber和Shiu⑵提出了期望折現(xiàn)罰

4、金函數(shù)(即Gerber-Shiu函數(shù))，成為了精算學(xué)者研究破產(chǎn)問題的一個重耍工具。最近，由Cramer131提出的關(guān)于經(jīng)典風(fēng)險模型的對偶模型受到了越來越多精算學(xué)者的關(guān)注，并將經(jīng)典風(fēng)險模型中的一些理論、方法很好的運用到對偶模型的研究中，使得單一針對保險公司的經(jīng)典風(fēng)險模型擴展到研究一般股份制公司等其他領(lǐng)域。本文主要研究了基于對偶模型下帶閾值的分紅問題和在對偶模型下討論了Gerber-Shiu函數(shù)。1.1風(fēng)險模型在精算學(xué)的風(fēng)險理論中，通常情況下，根據(jù)保險公司的資金流動動態(tài)盈余過程可建立如下模型：U(t)=u+ct-S(t),r>0,(1.1)其中，ua

5、)為保險公司在/時刻的盈余，弘no為保險公司的初始準備金，co為N(D保險公司單位吋間內(nèi)的保費收入。S(r)=X-iX,表示(0,/］吋間段內(nèi)保險公司總的理賠額；｛W),^>0｝是一個計數(shù)過程，表示保險公司在(0,/］時間段內(nèi)總的索賠次數(shù)；XJi+?,N⑴)表示保險公司第，次索賠額，是獨立同分布的隨機變量序列且服從分布函數(shù)F(x)=P(X0),并且我們假定N⑴和X,是相互獨立的。經(jīng)典風(fēng)險模型是風(fēng)險理論中提出最早、也是最簡單的風(fēng)險模型，對該模型的研究可以追溯到1903年瑞典精算師FillipLundberg發(fā)表的博士論文

6、，并在這篇論文中首次提出了一類重要的隨機過程一Poisson過程。后來，以HaraldCramer為首的瑞典學(xué)派將Lundberg的工作建立在了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上以完成了其嚴格化的過程。因此，經(jīng)典風(fēng)險模型也稱為Lundberg-Cramer模型，Lundberg和Cramer的工作也是當(dāng)前被公認的經(jīng)典破產(chǎn)論的理論基礎(chǔ)。最初針對該模型的研究主要討論保險公司的破產(chǎn)概率，由Lundberg141和Cramerl3^5J給岀了一些經(jīng)典的結(jié)果。早期的經(jīng)典風(fēng)險模型沒有考慮利率、通貨膨脹等隨機因素對公司盈余的影響，雖然在數(shù)學(xué)理論研究上帶來了方便，但由于其簡單化并不能

7、真正反映保險公司資本的營運狀況。因此，很多精算學(xué)者在經(jīng)典風(fēng)險模型的基礎(chǔ)上引入一些現(xiàn)實的隨機因素進行了諸多推廣并做了相應(yīng)的研究〔"I。對于經(jīng)典風(fēng)險模型(1.1)的對偶模型可變形為如下形式：U(t)=u-ct+S(t),r>0.(1.2)由于該模型所研究的領(lǐng)域與經(jīng)典風(fēng)險模型不同，因此，模型(1.2)中各量含義與模型(1?1)屮是不同的。在模型(1.2)中，｛/⑴表示公司在/時刻的盈余，uno表示公司的初始準備金，c〉0表示公司單位時間內(nèi)應(yīng)支付的費用以及科研支出等。Nd)S(t)=X；/=1乞?表示公司在((V］時間段內(nèi)的總收益，可解釋為知識產(chǎn)權(quán)收益、

8、公司的紅利以及盈利等;｛W),^>0｝是一個計數(shù)過程，表示(0,/］吋間段內(nèi)總的收益次數(shù)；…,“⑴)表示第i次收益額，是獨立同分布的隨機