高校食堂窗口設(shè)置

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1、吉林財經(jīng)大學2009-2010學年第二學期《數(shù)學模型》期末試卷考試形式：論文課程模塊：成績：論文題目：高校食堂窗口設(shè)置問題專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學班級：0803姓名：王艷菊學號：1101080321高校食堂窗口設(shè)置問題一、摘要隨著我國高校的擴招及教育事業(yè)的發(fā)展，高校食堂在不斷擴大其自身容量的同時，其在高校發(fā)展中扮演的作用也越來越重要，同時高校食堂也面臨著經(jīng)營管理方面問題的嚴峻挑戰(zhàn)。高校學生對食堂服務(wù)怨聲載道,其中等待時間過長的問題尤為突出。如何有效利用有限的人力、物力資源提高服務(wù)質(zhì)量和效率成為高校食堂贏利的關(guān)鍵。在此討論高校食堂服務(wù)系統(tǒng)窗口設(shè)置的優(yōu)化問題。根據(jù)各工作日不同時間段內(nèi)

2、顧客的多少適當?shù)卦鰷p窗口，從而在顧客平均等待時間和銀行服務(wù)窗口數(shù)量之間找到一個最優(yōu)的狀態(tài)。在顧客等待時間容許的情況下,使銀行所設(shè)的窗口最少從而使食堂的收益達到最大。本文運用排隊論原理針對高校食堂窗口設(shè)置問題建立了多服務(wù)窗口等待制M/M/N（即泊松輸入、負指數(shù)分布服務(wù)、N個服務(wù)臺）模型，最終求得了我校應(yīng)在非周末、節(jié)假日設(shè)置7個食堂窗口；對于周末、節(jié)假日設(shè)置5個食堂窗口是使學生和食堂達到滿意程度的最優(yōu)窗口設(shè)置數(shù)量。關(guān)鍵詞排隊論食堂窗口M/M/N模型二、問題重述隨著我校辦學的不斷發(fā)展，后勤工作，特別是直接面對學生的食堂工作，顯得日趨重要。我們在食堂常常看到這樣一種現(xiàn)象：由于在開餐的

3、高峰期，學生就餐的人數(shù)多，而服務(wù)窗口較少，使得學生抱怨排隊等待的時間太長。再有，如果服務(wù)窗口太多，對于食堂來講浪費了一定的人力、物力，不利于食堂向高效益方面發(fā)展。如何使雙方都達到滿意，這是我們迫切需要解決的實際問題。請運用數(shù)學模型原理解決食堂服務(wù)窗口設(shè)置數(shù)量問題。三、基本假設(shè)與符號說明（一）基本假設(shè)：（1）學生到達食堂的時間是獨立的，服從一種特定的概率分布；（2）服務(wù)時間是獨立的，服從一種特定的概率分布；（3）所有到達的學生都進入排隊系統(tǒng)，并在那里直到服務(wù)結(jié)束；（4）排隊系統(tǒng)有一個無限隊列，因此可以容納無限量的學生；（5）學生服務(wù)優(yōu)先規(guī)則是先到先服務(wù)；（6）工作時間足夠長，能

4、使服務(wù)系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)；（7）每一個學生由一個服務(wù)窗口單獨提供服務(wù)。（二）符號說明：：學生到達強度；：食堂窗口數(shù)量；：食堂中的學生數(shù)量；：食堂單個窗口的服務(wù)率；：系統(tǒng)的服務(wù)強度；：隊長（平均學生數(shù)）；：隊列長（等待的平均學生數(shù)）；：平均忙著的服務(wù)窗口個數(shù)；：學生等待時間；：學生逗留時間；：學生等待的概率；：在時刻系統(tǒng)中有個顧客（即狀態(tài)為）的概率。三、模型的建立與求解3.1模型原理：排隊論是研究排隊系統(tǒng)的理論，又稱為隨機系統(tǒng)的理論，它提供了很多不同的排隊模型，通過這些排隊模型能夠找到服務(wù)成本和服務(wù)水平之間較好的平衡。排隊系統(tǒng)是由輸入過程、排隊規(guī)則和服務(wù)方式等3個組成部分。輸入過

5、程指各種類型的顧客按怎樣的規(guī)律到來.主要類型有定長輸入、泊松輸入和愛爾朗輸入。其中泊松輸入適用最廣泛。排隊規(guī)則指到達的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。主要有損失制、等待制和混合制。服務(wù)方式指同一時刻有多少服務(wù)臺可接納顧客,每一顧客服務(wù)了多長時間。主要有定長分布、負指數(shù)分布、愛爾朗分布幾種方式。排隊現(xiàn)象是指顧客以特定的或變化不定的速度到來,按照一定的服務(wù)規(guī)則接受服務(wù)員服務(wù)的過程。排隊系統(tǒng)是指存在著排隊現(xiàn)象的系統(tǒng)。主要研究和計算的數(shù)量指標有:(1)隊長,系統(tǒng)中的全部顧客數(shù)；(2)隊列長,系統(tǒng)中排隊的顧客數(shù)；(3)顧客在系統(tǒng)中的逗留時間,包括顧客排隊等候及被服務(wù)的時間；(4)顧客在系統(tǒng)內(nèi)

6、排隊等候時間；(5)忙期,指服務(wù)機構(gòu)連續(xù)接待顧客的時間長度,即指服務(wù)強度。為了敘述方便,引入下列記號:令M代表泊松輸入或負指數(shù)分布服務(wù),于是泊松輸入、負指數(shù)分布服務(wù)、N個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)寫成M/M/N。3.1.1單服務(wù)窗等待質(zhì)排隊模型（M/M/1)排隊模型M/M/1表示顧客源為有限的，顧客的到達相互獨立，到達規(guī)律服從參數(shù)的泊松分布；單服務(wù)臺，隊長無限，先到先服務(wù)；各顧客的服務(wù)時間相互獨立，且服從參數(shù)為的負指數(shù)分布。1.確定系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)為的概率已知顧客的到達規(guī)律服從參數(shù)為的泊松分布，服務(wù)時間服從參數(shù)為的負指數(shù)分布；若有個顧客，只有一個接受服務(wù)，其余的顧客排隊等待，有無限

7、個位置可排隊，于是在時間間隔內(nèi)有：1）有一個顧客到達的概率為.2）沒有一個顧客到達的概率為.3）有一個顧客被服務(wù)完的概率為.4）沒有一個顧客被服務(wù)完的概率為.1）多余一個顧客到達或服務(wù)完離去的概率為。則在時刻系統(tǒng)中有個顧客（即狀態(tài)為）的概率，可能的情況見表一。表一狀態(tài)的概率情況時刻的顧客數(shù)在區(qū)間在時刻的顧客數(shù)到達離去（A）（B）（C）(D)××√√×√×√這是一個生滅過程，四種情況是相互獨立的事件，則有，整理得，并令，則得，當時，類似地，可有，為求穩(wěn)態(tài)解，假設(shè)當時，的極限存在，即有，則，，這是關(guān)于的差分