非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法論文

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1、非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法摘要：本文首先給出了升階法的定義，以及利用升階法求常微分方程的特解，然后給出幾個(gè)定理及其證明，運(yùn)用這些定理可以求解非齊常系數(shù)線性微分方程，此為一般的方法.最后將所有常見的幾種類型的微分方程歸納為一類，使得解方程的過程得到了有效的簡化.關(guān)鍵詞：非齊次；常系數(shù)；線性；解法1.引言線性微分方程在常微分方程學(xué)中占有一定的地位，其中，研究非齊常系數(shù)線性微分方程的解法對進(jìn)一步研究其他更復(fù)雜的常微分方程具有指導(dǎo)意義.微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時(shí)候，就討論過

2、微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對簡單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學(xué)家雅各布?貝努利、歐拉、法國數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究近幾年，國內(nèi)外學(xué)者對非齊常系數(shù)線性微分方程的解法也有許多研究：2005年11月，唐爍在安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)第二十三卷第六期發(fā)

3、表的《常系數(shù)線性非齊次微分方程組的初等解法》中利用初等方法，直接得到兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性非齊次微分方程組的通解方式.2007年4月，趙輝在安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)第六期發(fā)表的《二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的一種特殊解法》中對二階常系數(shù)非齊微分方程運(yùn)用了一種特殊的解法，使得求解此方程變的方便快捷.2008年6月，陳新明、胡新姣在大學(xué)數(shù)學(xué)第二十四卷第三期發(fā)表的《常系數(shù)線性非齊次微分方程的簡單解法》中得到的求n階常系數(shù)線性非齊次微分方程一般解更方便的方法，以及幾種特殊情形的表達(dá)式.對于非齊次方程，我們的解法是通

4、解加特解得方法，所謂通解，就是先解出非齊次方程組所對應(yīng)其次方程組的基礎(chǔ)解系，然后再隨便找一個(gè)特解滿足非齊次方程組即可，然后把它們相加組合起來，就是非其次方程的解本文將給出非齊次常系數(shù)線性微分方程的一些解法，有助于以后更簡便的求解這類方程。2.主要結(jié)果2.1非齊次常系數(shù)線性微分方程的一般解法2.1.1升階法為了求解非齊常系數(shù)線性微分方程，首先要求方程的特解，這里給出求特解的一種方法-升階法。定義：當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)此時(shí)，方程（1）兩邊同時(shí)對求次，得顯然方程（1）的解存在，且滿足上述各方程。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨設(shè)

5、時(shí)情況類似）是：此時(shí)。由與通過倒數(shù)第二各方程可得，依次往上推，一直推到（1），即可得到方程（1）的一個(gè)特解。上面這種方法稱為升階法。2.1.2解的結(jié)構(gòu)定理定理1(解的疊加原理)：設(shè)分別是方程和的特解，則有是方程的特解。證明：將代人方程的左端，得證。定理2設(shè)是方程的特解，則分別是方程和的特解。(其中是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式)證明：把代人方程有：所以；(方程的兩端實(shí)部、虛部相同)得證。階常系數(shù)非齊次線性微分方程的定義對階常系數(shù)非齊次線性微分方程，（1）其中為常數(shù)．記，（2）稱為方程(1)的特征函數(shù)，記，方程(1)可寫成又記次多項(xiàng)式

6、（3）引理1，（4）其中證明：先證明，（5）用數(shù)學(xué)歸納法．由求導(dǎo)法則得．假設(shè)(5)式對的情形成立，則，即(5)式成立．由的定義得(4)式．記引理2若由(3)式給出，且，則（6）證明：引理1中取，得。在上式中將換為次多項(xiàng)式，得，由此有因?yàn)椋约?，所以有，由此得，?）式成立。定理3記。對階常系數(shù)非齊線性微分方程，其中為常數(shù)，可以是復(fù)常數(shù)。若為的重根，則方程（7）的特解為，（8）其中由（9）確定證明：設(shè)方程（）的一個(gè)解為。由引理1，。因?yàn)闉榈拇味囗?xiàng)式，所以當(dāng)時(shí)，。將在處利用公式展開，得。因?yàn)闉榈闹馗?，所以，注意，方程?

7、）化為。（10）而為次多項(xiàng)式，以及為常數(shù)，所以當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，也是次多項(xiàng)式。記，由（10）式知（9）式成立。因?yàn)椋?。方程?）的特解為。當(dāng)為的與重根時(shí)，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解。定理4若為的重根，則方程（7）的通解為；（11）若為的重根，則方程（7）的通解為（12）證明：若為的重根，由定理1，方程（7）的特解為，此時(shí)（9）式為，所以。對積分次再乘以得（11）式。若為的重根，為了得到通解，用證明定理1的方法證明（12）式。設(shè)方程（7）的通解為，與定理1一樣證明，知由（10）式確定。又因?yàn)椋?/p>

8、此時(shí)（10）式為，其中，解得。由定理2得，注意，兩邊積分次得再乘以得（12）式。當(dāng)時(shí)，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到（7）的特解。推論1對階微分方程，若為的重根，則特解為。（13）證明：當(dāng)時(shí)，由定理1得，這里由（9）式確定；當(dāng)時(shí)，，所以（9）式為。由此解出后積分次，再乘以得到（13）式。當(dāng)，自由項(xiàng)還含或，且為的根時(shí)，也不需經(jīng)（9）式確定系