有趣的數(shù)學(xué)悖論

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1、有趣的數(shù)學(xué)悖論“悖論”的含義比較豐富，它包括一切與人的直覺和日常經(jīng)驗(yàn)相矛盾的結(jié)論，這些結(jié)論會(huì)使我們驚訝無比。許多數(shù)學(xué)悖論是饒有趣味的，它不僅能開闊我們的眼界，還可以從中享受到無窮的樂趣。這種趣味帶來的樂趣，或許是我們?cè)跀?shù)學(xué)課本中永遠(yuǎn)體會(huì)不到的。請(qǐng)看下面的兩個(gè)例子：我們先來看雪花曲線，從中可以看到大自然的又一項(xiàng)神奇的杰作。雪花曲線的形狀可以按下述程序畫出：先畫一個(gè)正三角形（圖①）；然后將這個(gè)三角形每邊三等分，再以每邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)為頂點(diǎn)分別向原三角形外畫小正三角形，并擦去各邊兩個(gè)三等分點(diǎn)間的線段，這樣

2、就成了六角星形（圖②）；再在六角星形的每邊用同樣的方法向外畫更小的正三角形，并擦去相應(yīng)的線段，這時(shí)就成了一個(gè)十八角形（圖③），其形狀就有點(diǎn)像一朵天上飄下的雪花了。再重復(fù)以上的過程，圖形可以不斷地畫下去，所得到的圖形，就是我們所說的雪花曲線。③現(xiàn)在的問題是，這個(gè)不斷畫出的圖形一一雪花曲線的周長(zhǎng)會(huì)是多少？假如第一個(gè)三角形每邊長(zhǎng)為1厘米，那么這個(gè)不斷畫出的圖形始終在一個(gè)半a徑為凹厘米的小圓內(nèi)，其周長(zhǎng)大不了有1米吧？怎么看也不像會(huì)有1米長(zhǎng)。這3就是我們的直覺判斷。事實(shí)上，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)可以任意長(zhǎng)。也就是說，

3、只要上述畫雪花的過程一直繼續(xù)下去，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)將趨于無窮大。這不是太神奇了嗎？我們具體來算算看:由于圖①的邊數(shù)為3,圖②的邊數(shù)為3x4,圖③的邊數(shù)為3x42,,圖?的邊數(shù)為3x4'1-1,它們的邊長(zhǎng)分別為1厘米、丄厘米、丄厘米厶厘3323心米，而雪花曲線的周長(zhǎng)等于邊數(shù)與邊長(zhǎng)的乘積，因此，如果用G、C2、C3G分別表示圖①、圖②、圖③圖?的周長(zhǎng)的話，于是有：C!=1X3=3（厘米）；1C2=-X3X4=4（厘米）;1、42C3=—x3x42=—（厘米）；3~3Cn=1"一1X3x4n_1=3Xn-

4、（厘米）。由此我們不難看出，當(dāng)n足夠大時(shí)，G能比我們指定的任何數(shù)更大。也就是說，雪花曲線并不像我們想象的不夠1米長(zhǎng)，還是要多長(zhǎng)就有多長(zhǎng)！我們?cè)賮砜匆粋€(gè)甲蟲爬行的問題，它將讓你的直覺經(jīng)受更加嚴(yán)峻的考驗(yàn)。一只甲蟲沿著一條長(zhǎng)1公里的橡皮繩以每秒1厘米的勻速由一端向另一端爬行。每過1秒鐘，橡皮繩就伸長(zhǎng)1公里。比如，10秒鐘后，橡皮繩就伸長(zhǎng)10公里了。假定橡皮繩可以任意拉長(zhǎng)，并且拉伸是均勻的。甲蟲也會(huì)不知疲倦地一直往前爬，在繩子均勻拉長(zhǎng)時(shí)，甲蟲的位置理所當(dāng)然地相應(yīng)均勻向前挪動(dòng)。如此下去，甲蟲最后究竟能不能爬到

5、橡皮繩的另一端呢？乍一想，甲蟲爬行的那點(diǎn)可憐的路程，肯定趕不上橡皮繩成萬倍的不斷伸長(zhǎng),隨著橡皮繩的拉伸，甲蟲只怕是離終點(diǎn)越來越遠(yuǎn)了！這也是我們的直覺判斷。然而，甲蟲卻千真萬確地爬到了終點(diǎn)（即橡皮繩的另一端）。如果你不信，就看看下面的計(jì)算結(jié)果吧：1公里等于1。唄厘米，第1秒后，甲蟲爬行了整個(gè)繩長(zhǎng)的際；第2秒后，它又爬行了整個(gè)繩長(zhǎng)的麗而（因?yàn)橄鹌だK是均勻拉長(zhǎng)的，所以甲蟲在第二個(gè)1秒里爬行了lx?厘米，這里的1是甲蟲的爬行速度，？是橡皮繩由222公里拉伸到3公里的拉伸系數(shù)。因此，甲蟲在第2秒內(nèi)爬行了整個(gè)繩

6、長(zhǎng)的Q11r3000000=^665）；以此類推，第3秒后，甲蟲又爬行了整個(gè)繩長(zhǎng)的碌第4秒后，甲蟲又爬行了整個(gè)繩長(zhǎng)的而而；?…如此下去，甲蟲第n秒后在橡皮繩上的位置到起點(diǎn)的距離與整個(gè)不斷拉伸的橡皮繩長(zhǎng)的比為:1111H1FH100000200000300000nx1000001Z11111、100000234/?括號(hào)內(nèi)是調(diào)和級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的和，當(dāng)n足夠大時(shí)，它的和值可以要多大有多大。因此，只要括號(hào)內(nèi)的和值等于100000,上式的值就等于1,這時(shí)就表示甲蟲已爬到了橡皮繩的另一端點(diǎn)。當(dāng)然，這里的n值是很大的

7、，約等于e100000（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，約等于2.718）,大得難以相象，但e吶。。畢竟是一個(gè)有限的數(shù)。