解題策略源于問題

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1、解題策略的謀劃——清華大學(xué)黃高峰2006對于某一個具體的問題，如何思考分析，從而謀劃策略，是十分重耍的。策略的謀劃過程是一個思維發(fā)散的過程。問題本身千變?nèi)f化，解決問題的策略也比較多，謀劃策略的方法不一而足，根據(jù)人們的思維方式，我們論述以下幾種謀劃策略的思想。、降格思想：從對問題的特殊和簡單狀態(tài)的分析中歸納出問題的實質(zhì)內(nèi)涵或規(guī)律,從而得到問題的一般解法，也就是我們常說的投石問路或者叫做嘗試歸納。這種通過特殊求得一般、通過實際求得抽象的思想在謀劃策略的過程中是十分有效的，特別是當(dāng)題口中所給的數(shù)據(jù)比較大或者很抽象而難以入手時，常用這種思想來謀劃策

2、略。問題一：（臺階問題）一個人登上一個級的臺階，可以一步登級，也可以一步登級。問：一共有幾種登法？這道題中的臺階數(shù)為，雖然不是很大，但一時也很難入手。我們運用降格思想分析這個問題，先看幾種簡單的情形：、僅有級臺階時，登法只有種：一步級。、有級臺階時，登法有種：一步級；級+級（兩步）。、有級臺階時，登法有種：級+級+級；級+級；級+級。這里級+級表示先登級再登級；級+級表示先資級再資級，顯然這兩種登法是不同的。、有級臺階時，登法有種：級+級+級+級；級+級+級；級+級+級；級+級+級；級+級。、有級臺階時，登法有種：級+級+級+級+級；級+級

3、+級+級；級+級+級+級；級+級+級+級；級+級+級；級+級+級+級；級+級+級；級+級+級。按照臺階數(shù)遞增的次序把登法的種數(shù)排列如下:容易想到這是菲波那契數(shù)列的一部分，這就找到了問題的規(guī)律，同時也謀劃出解決問題的策略：數(shù)學(xué)模型（規(guī)律）策略。容易得到后繼數(shù)據(jù)是：，，，，?…于是得到問題的解：級臺階共有種登法。當(dāng)然，關(guān)于找到的規(guī)律的正確性必須給出詳細(xì)的證明，這里不再詳述。應(yīng)用這個例子無非是為了說明從簡單出發(fā)考慮問題的優(yōu)越性，同時指岀，敏銳的洞察已有數(shù)據(jù)的能力對于謀劃策略也是相當(dāng)重要的。、升格思想：這種思想與第一種思想恰恰相反，它是把-?些過于

4、具體的問題抽象化，口的是忽略其中的一?些次要因素，從而更好地把握其屮的主耍因素，通過解決一般問題從而解決具體問題。有時會發(fā)生這樣的情況：由于問題小給出的數(shù)據(jù)過于具體，往往會形成一?種思維定勢，一直針對具體的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，而忽視了問題小顯而易見的東西。運用這一思想有利于突破思維定勢，更快地找到解決問題的策略，其關(guān)鍵是在于對抽彖問題的分析和推理。我們把臺階問題抽彖化，設(shè)有級臺階，登臺階規(guī)則不變。對于登級臺階的最后一步有兩種情況：（1）由第級臺階跨一步（級）到達(dá)第級；（2）由第級臺階跨一步（級）到達(dá)第級。顯然，以上的兩類登法是不同的，級臺階的總登

5、法就是這兩類登法的總和。我們用表示級臺階的登法種數(shù)，則有：以及；。這就迅速地得到了問題的數(shù)學(xué)模型，也就謀劃岀解決問題的策略：數(shù)學(xué)模型（規(guī)律）策略。從這個例子的分析小可以看出，對問題的抽彖概括，尋求問題的一般解法,對于某些問題的解決是I?分簡便的。適當(dāng)運用升格思想往往可以一箭屮的，迅速描述出問題的本質(zhì)，從而得到解決問題的策略。、分格思想：把整個問題劃分為幾個相聯(lián)系的子問題或幾個連續(xù)的解題步驟，再一一設(shè)法解決，最后綜合各個部分的解就可以得到整個問題的解。作為一種思維方法，在分析問題的時候恰當(dāng)運用，對于謀劃解題策略是很有效的。劃分問題的方法有很多

6、利口最基本的原則是把難以描述的問題化為易于描述的問題，把不易求解的化為易求解的。仍是看上而的臺階問題，由登級臺階所用的步數(shù)不同，可以劃分為如下的幾種情況:、共要登步（全部都是每步登級）：有種登法；有28種登法有37種登法有46種登法、共要登步（只有某一步登級，其余每步登級）：有19種登法;、共要登步（只有某兩步每步登級）、共要登步（只有某三步每步登級）、共要登步（只有某四步每步登級）、共要登步（全部都是每步登級）:有55種登法；因此總共的登法有種。通過上而的對問題劃分的過程以及計算的結(jié)果的分析，我們可以得到以下的兩種策略：（1）分治策略，直

7、接仿照上而的劃分過程由計算機加以實現(xiàn)。（2）數(shù)學(xué)模型（規(guī)律）策略，從小歸納出：對于級臺階的登法有種。通過上而的例子可以看出：分格思想關(guān)鍵在一個分字，也就是如何劃分問題，劃分小應(yīng)注意兩點：1、劃分必須根據(jù)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)，不遺漏；2、劃分必須具有啟發(fā)性，即對于謀劃問題的策略有一定的啟發(fā)作用。、變格思想：通過轉(zhuǎn)換問題某些信息，從而轉(zhuǎn)化問題的形式，達(dá)到化顯為隱、化繁為簡、化難為易、化未知為已知的口的，通過解決等效問題來解決原問題。再看上而的臺階問題，我們運用變格思想對問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，考慮人在臺階上的位置變化，比如：人處于第1臺階上時，若一步登1級

8、就可以到達(dá)第2級臺階；若一步登2級就可以到達(dá)第3級臺階。我們用點表示每一級臺階，用邊表示臺階Z間可以一步到達(dá)的關(guān)系，就可以得到下面的圖：于是，問題就轉(zhuǎn)化為：在圖屮，求從點到點的所