牛頓迭代法（牛頓-拉夫森)數(shù)值分析

《牛頓迭代法（牛頓-拉夫森)數(shù)值分析》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。

1、牛頓迭代法一、牛頓迭代法牛頓迭代法也稱為牛頓-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是數(shù)值分析中最重要的方法之一，它不僅適用于方程或方程組的求解，還常用于微分方程和積分方程求解。二、迭代公式用迭代法解非線性方程時(shí)，如何構(gòu)造迭代函數(shù)是非常重要的，那么怎樣構(gòu)造的迭代函數(shù)才能保證迭代法收斂呢？牛頓迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的來源大概有以下幾種方式（主要是第一種）：1、設(shè)，對(duì)在點(diǎn)作泰勒展開：略去二次項(xiàng)，得到的線性近似式：。由此得到方程0的近似根(假定0)，即可構(gòu)造出迭代格式(假定0)：公式(1)這就是牛頓迭代公式，若得到的序列{}收斂于，則就是非線性方程的根。2、

2、牛頓迭代法也稱為牛頓切線法，這是由于的線性化近似函數(shù)＝是曲線＝過點(diǎn)的切線而得名的，求的零點(diǎn)代之以求的零點(diǎn)，即切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如右圖所示，這就是牛頓切線法的幾何解釋。實(shí)際上，牛頓迭代法也可以從幾何意義上推出。利用牛頓迭代公式，由得到，從幾何圖形上看，就是過點(diǎn)作函數(shù)的切線，切線與軸的交點(diǎn)就是，所以有，整理后也能得出牛頓迭代公式：。3、要保證迭代法收斂，不管非線性方程0的形式如何，總可以構(gòu)造：作為方程求解的迭代函數(shù)。因?yàn)椋憾以诟浇叫。渚植渴諗克俣仍娇?，故可令：?(即根不是0的重根)，則由得：，因此可令，則也可以得出迭代公式：。4、迭代法的基本思想是將方程改寫成等價(jià)的

3、迭代形式，但隨之而來的問題卻是迭代公式不一定收斂，或者收斂的速度較慢。運(yùn)用前述加速技巧，對(duì)于簡單迭代過程，其加速公式具有形式：，其中記，上面兩式可以合并寫成：這種迭代公式稱作簡單的牛頓公式，其相應(yīng)的迭代函數(shù)是：。需要注意的是，由于是的估計(jì)值，若取，則實(shí)際上便是的估計(jì)值。假設(shè)，則可以用代替上式中的，就可得到牛頓法的迭代公式：。牛頓迭代法實(shí)質(zhì)上是一種線性化方法，其基本思想是將非線性方程逐步歸結(jié)為某種線性方程來求解。三、算法描述用Newton法求方程f（x）=0的一個(gè)解輸入初始值x0；誤差容限TOL；最大迭代次數(shù)m輸出近似解p或失敗信息Step1Step2對(duì)i=1，2，...，m做

4、setp3~4Setp3Setp4若，則輸出（p），停機(jī)，否則Setp5輸出失敗信息；停機(jī)注：在第4步中的迭代終止準(zhǔn)則可用：四、C語言代碼求一元四次方程的解doublefunc(doublex)//函數(shù){　　returnx*x*x*x-3*x*x*x+1.5*x*x-4.0;　　}　　doublefunc1(doublex)//導(dǎo)函數(shù)　　{　　return4*x*x*x-9*x*x+3*x;　　}　　intNewton(double*x,doubleprecision,intmaxcyc)//初始值，精度，迭代次數(shù)　　{　　doublex1,x0;　　intk;　　x0=*x

5、;　　for(k=0;k

6、

7、fabs(func(x1))

8、/達(dá)到迭代次數(shù)，仍沒有達(dá)到精度　　return0;　　}　　intmain()　　{　　doublex,precision;　　intmaxcyc;　　printf("輸入初始迭代值x0:");　　scanf("%lf",&x);　　printf("輸入最大迭代次數(shù):");　　scanf("%d",&maxcyc);　　printf("迭代要求的精度:");　　scanf("%lf",&precision);　　if(Newton(&x,precision,maxcyc)==1)//若函數(shù)返回值為1　　printf("該值附近的根為:%lf",x);　　else//若函數(shù)

9、返回值為0　　printf("迭代失敗!");　　getch();　　return0;　　}五、二元函數(shù)的牛頓迭代法設(shè)z=f（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到2階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（x0+h，y0+k）為此鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，則有其中于是方程f（x，y)=0可近似表示為即同理，設(shè)z=g（x，y）在點(diǎn)（x0，y0）的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到2階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，（x0+h，y0+k）為此鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，則同樣有其中于是方程g（x，y)=0可近似表示為即于是得到方程組：求解這個(gè)方程組：當(dāng)時(shí)雅可比行列