凹面鏡聚光論文

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1、凹面鏡聚光問題參賽隊員劉超鈞，2220103631,數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。楊必萬，2220103754,數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。張大榮，2220103987,數(shù)學(xué)系，信息與計算科學(xué)。摘要本文探討的是關(guān)于球而凹而鏡不能將所有平行于主軸的光線反射Z后聚于一點及找出合理的凹面鏡形狀的問題，并給出球面和拋物面反射鏡的證明。一、證明反射面為球面的凹面鏡將平行與主光軸的光線反射后匯聚于一點稱Z為焦點。這一說法不成立。利用平而中平行與主光軸的光線射入一半圓經(jīng)過一次反射后的光線不是全部通過同一焦點，下面將給出證明。（中學(xué)物理中關(guān)于兒何光學(xué)所說，反射面為球面的凹面鏡將平行于主

2、光軸的光線反射之后匯聚于一點稱之為焦點。）將平面半闘拓展到空間中，若反射鏡為球面凹面鏡則平行于主光軸的平行光束經(jīng)過反光鏡一次反射后不是全都經(jīng)過球而凹而鏡的焦點。二、證明鏡面應(yīng)該設(shè)計成拋物面的形狀。根據(jù)高屮教材《圓錐曲線》屮的結(jié)論：“設(shè)一拋物線的方程為x2=2py,則所冇平行于y軸的直線經(jīng)過拋物線的一次反射后都經(jīng)過其焦點”（下面將會給出此結(jié)論的詳細(xì)證明）同樣將此結(jié)論推廣到空間中冇：所冇平行于拋物面反光鏡主軸的平行光束經(jīng)過拋物面的一次反射后比經(jīng)過此拋物面的焦點。三、關(guān)于一切反射鏡的結(jié)論全都基于光源為理想點光源的情況下，即忽略光源的大小，但在實際生活中光源有實際大小

3、，將一個空間的光源分成無數(shù)個電光源,除了球心的電光源是在焦點上以外其余的光源都是在焦點外部，故經(jīng)過反射面一次反射后的光線一定與主光軸冇一定偏差，下而的論證中將定量的分析反射光線與主光軸的角度偏差3。四、關(guān)于凸透鏡的結(jié)論：凸透鏡的重要特性是對入射光線的平行光束有匯聚作用。當(dāng)光源位丁?凸透鏡一側(cè)的焦點時，由光源發(fā)出的發(fā)散的光線，經(jīng)過凸透鏡的折射后變成平行與主光軸的平行光線。首先來證明反射面為球面的凹面鏡將平行于主軸的光線反射之后匯聚于點不一定嚴(yán)格成立。1若此定理在平面屮不成立則在空間屮亦不成立2下面給出在平面中不成立的證明：如上圖所示，一束平行于y軸的光線x=m射

4、入半圓M點并經(jīng)反射交y軸于P點，直線PM與x軸正方向夾角為0,直線0M與x軸夾角為a,Q為OR的屮點。設(shè)半圓方程:兀2+y2=r2(y^O)一串x=m的光線射向球而M點并反射且M(m,J八一in?)貝ijtanamPM的方程tan(2cr+—)(x-m)=y-7^2-m2令x=0則y=Vr2-m2-mtan(2a+—)由r>m>0得當(dāng)m趨近于r時，反射光線與y軸的交點在Q點與R點Z間且趨近于R點；當(dāng)m趨近于0時，反射光線與y軸的交點趨近于Q點。即，在半圓角角度要求很大的情形下，平面半圓不能使光線匯聚于一點。3、將此結(jié)論拓展到空間中，球面凹面鏡即為將半圓繞Y軸繞

5、轉(zhuǎn)一圈所得曲面，故射入球面凹面鏡的平行于主軸的光線經(jīng)過一次反射后不能匯聚到一焦點上。二、驗證鏡面應(yīng)該設(shè)計成拋物面的形狀1、下面依舊從平面出發(fā)，證明平面拋物線能將平行與主軸的光線匯聚到一焦點Ji：設(shè)拋物線方程為x2=2py,焦點為F(2,0)2一束平行于歹軸的光射到拋物線的M點并反射，此光束的方程設(shè)為兀二。，聯(lián)立兩方程得M(a,—).2p拋物線在M點的切線斜率為k-y'=(―)'=—2pP2則切線方程為(y-—)=—(x-tz)2pP設(shè)兀與法線夾角為則反射線與x軸正方向夾角為(2q-蘭)2設(shè)反射線斜率為k',就有k'=tan(2cr-—)=-cot2a22故反射

6、線方程為(y-—)=k'(x-a)2pXtan=—=/:P則反射線方程可化為(y-—)=-cot26f(x-(2)2p21*2217727即"釘加一咲話甘垮-筈(Z22_2令則有尸劭+號這就說明無論。為何值，反射光線均經(jīng)過焦點F2、曲于拋物線在平面中冇此性質(zhì)下面講此性質(zhì)拓展到空間中冇：拋物面是由方程b二2px的拋物線繞X軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，它的焦點F位于（左，0）上，確定了一個拋物面的焦距，則這個拋物面的面型就確定了。2三、上述情況中均將光源看作點光源而未考慮到光源在實際中的大小問題1理論上，拋物而反光鏡能將發(fā)至焦點的任何光線反射成平行與光軸的光線-…準(zhǔn)直光線。

7、反光鏡應(yīng)盡可能多的收集發(fā)至光源的光線，使其變成準(zhǔn)直光線。因此,在設(shè)計反光鏡吋，應(yīng)該在加工工藝允許的情況下盡量增大反光鏡的包容角。（見在反光鏡通光口徑相同的情況卜，Q反映了反光鏡對光線的包容能力，Q越大，反光鏡所能容納的光線就越多，就可以將更多的發(fā)至光源的無規(guī)則光線變成準(zhǔn)一直光線。如圖a中反光鏡的集光性能就比b的要強，當(dāng)然前提是反光表面的曲率半徑要足夠精確。只冇高精度的凹面鏡，并不能保證產(chǎn)生清晰的準(zhǔn)直光線，還冇一個必要的條件是發(fā)光點很小的光源。如前所述，拋物面凹透鏡能將發(fā)至焦點的光線準(zhǔn)直。然而，任何光源都不可能是也個點，都冇一定的體積。圖2中a是理想的電光源的反

8、射情況，b則是有限光源的反射情況，可以