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《近世代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、近世代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.判斷下列二元關(guān)系是否是等價關(guān)系：設(shè)4=[a,b,c},R{={(a,b),(b,a),(a,a),(b,b)}；/?2={(d,b),(/?,a),(d,Q),(b,b),(c,c)}；/?3={(Q,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}；R4={(a,b),(b,b),(c,c),(a,b),(b,c),(a,c)}?提示：尺不是等價關(guān)系，因為(c,c)胡,即不具有反身性，盡管具有對稱性、傳遞性;/?2是等價關(guān)系，因為具有反身性、對稱性、傳遞性；&不是等價關(guān)系，
2、因為(d，C)E/?3,即不具有傳遞性，盡管具有反身性、對稱性；人4不是等價關(guān)系，因為即不具有對稱性，盡管具有反身性、傳遞性.2.設(shè)A=Z,需{所有偶數(shù)}，?是普通數(shù)的乘法?證明：(A,?)與(入.)不同構(gòu).提示若(人?)與(入?)同構(gòu)，設(shè)0是使具同構(gòu)的同構(gòu)映射.設(shè)1—2仏一1—2加，那么0(-1)=0(1(-1))=0(1)0(-1)=(2/7)(2肋，所以(2n)(2m0=2m.若m^0，則2n=1,顯然矛盾；若加=0,艮卩0(-1)=0,則0(1)=0(-1)0(-1)=0,這樣就有1的彖都是0,這與(/)是一一映射矛
3、盾?所以，(A,-)-U(X-)不同構(gòu).3.設(shè)A={a,b9c}fA的代數(shù)運算。由下表給定:oabcClcccbccccccc1.集合4上的變換冇幾個？集合A上的單變換冇幾個？2.定義在A上的自同態(tài)映射有兒個？3.定義在人上的H同構(gòu)有兒個？并具體寫出來？提示：1.27;62.93.2；(7a-^a,bi-^b.cI—>c；t:a-^>b,b—a,cIc4.分別舉一個無單位元、有左單位元但無單位元、有單位元的半群的例了.a,提示2Z,?是無單位元的半群；設(shè)S={(12)匕如=1,2},(s,o)是具有左單1X位元00但無
4、單位元的半群；Z,?，其中?,0分別表示數(shù)的普通乘法、矩陣的普通乘法.1.一個有限群的每一?個元的階都有限.提示設(shè)G是有限群，任取6/GG,則°衛(wèi)2衛(wèi)3,…不能全不相同，因G中只有有限個元素之故.設(shè)ci—i>j，則廠=e,i_j=k是白然數(shù).命A={kak=e,keN}}則A非空，而自然數(shù)的非空集合有最小元設(shè)A的最小元為加,則am之，即加是d的周期.2.設(shè)G群除單位元以外的每一個元的周期均為2,則G是交換群.提示/aeG，因q?=￡,而aa~x=￡，故/=刖-1,山消去律知=a；任取a,heG則有a=a~h=h~l,乂
5、(6z/?)_,=h~]a~l=ha，但ahwG,故(ab)"=ah進(jìn)而，cib=(aby1=b~xa-x=ba,即G是交換群.3.設(shè)a的周期為加,b的周期為n,O’)=1,且ab=baf則ab的周期為加m.提示設(shè)力的周期為P.由于(ab)mn=am,,b,nH=ef故1嘰乂(血嚴(yán)=akmbkm=臚"，而(ab)km=e,故bk,n=e,nkm,但(m,n)=l,故mIR?同樣可得nk,再_次利用(/n,n)=1,有mnIk,則有mn=k,即ab的周期為mn.4.證明：階是索數(shù)p的群G—定是循環(huán)群.提示因p>1,故存在a
6、eG,a的周期為m>1,又加丨p，而p是素數(shù)，則加=/?,即G=(ci)?5.假定群G的元d的周期是〃?證明/的周期是一，這里d=(廠丿)是r和n的授大公d因子.nnrr提示首先{ary=a7=(any=e；其次，若有自然數(shù)加，使得(/)”'二纟，則ar，n=s故nIrm,又(n,r)=d,故有整數(shù)s、t，使得n=sdyr=td，且(s,t)=1,那么njqsdItdm,即sItm，但(s,t)=1,故siHP—l/n,從而o(ar)=—.10.假定群G的階為弘且G=(a).證明：G=(/),這里(廠屮)=1.提示因(r,/
7、i)=l,故存在整數(shù)$、/,使得rs+nt=f這樣有護=/=(/嚴(yán)(護)曲=(/嚴(yán)，故/是G的一個生成元，從而G=(/).(2344)11.已知置換cr=(123)(45),龍==(15243)(54321丿(1)求CT的階；提示因為o((123))=3,。((45))=2,且(123)(45)=(45)(123),(2,3)=1故0((123)(45))=6?(2)求7T6TI及其階；提示因為兀-=(34251),故5一】=(154)(23),從而0((123)(45))=6.(3)將71*表示成形式為(lz)的2輪換
8、的乘積.提示因為(也??％)=(也)(也-HQ，G7)=(10(lj)(10>所以Jiok'=(154)(23)=(14)(15)(12)(13)(12).—門234567)12.設(shè)
