質(zhì)點力學：圓形軌道運動研究

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1、圓形軌道運動產(chǎn)生條件及其穩(wěn)定性研究物理102,溫一鳴，34號產(chǎn)生圓形軌道運動的條件研究:得:一+//)=——du_cd0,但由初始條件知,說明h2it2rti比耐公式0“、F.也知，如杲初速垂直于位矢11滿足F其中也為單位質(zhì)量上所受的吸引力，則-F可見這時不論半徑如何，質(zhì)點將作惻形軌道運動。形軌道的穩(wěn)定性研究:1圓形軌道的微擾微分方程1.1取一階微擾近似地球繞太陽運行的軌道是接近于圓形的橢圓。我們知道，對圓形軌道來講,r或w(=-)為常數(shù)。r由比耐公示曲諾+"=可矢口,m在有心力作用下，對任何質(zhì)

2、點(或星體)來講，如投擲(起始)速度的方向垂一直于位矢，且滿足宀譽(1)U的關系，則不論其半徑為何，都將作圓形軌道的運動，式中p=—為單位質(zhì)量上所受的吸引力?，F(xiàn)在我們要問，這種圓形軌道是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的？這個問題在物理上是很重要的。因為自然界小微小擾動是經(jīng)常存在的，它將破壞不穩(wěn)定的圓形軌道，只有穩(wěn)定的圓形軌道，才有機會繼續(xù)下去。令u=u（）及h=h°為某一圓形軌道的“和力之值,顯然(2)為了研究擾動，我們令式中歹及其微商均認為是很小的微量，把“=￡+歹代入比耐公示中，得變+卄de1臚仏。+歹）

3、(3)即引入微擾后軌道偏差歹（〃）的微分方程把式（3）的右邊展為g的幕級數(shù)，得仇。2(1+自MTPoWo丿Po2/?0.3P/2!(4)又因為二占啤2,即/>=/?2^,則整理后為如>3-3)+——U0)dr/3_"（）"）歹+V-2悅*3、de~~「A）丿2/?（）妬/?廣uQh丿孕+取一階微擾近似決定穩(wěn)定性的方法，線性部分的特征方程+貼*,0n2-5/1+62iioC2=3—n當3_泌〉0即泌＜3時，解得2為純虛數(shù)，這表明奇點（0,0）為中心。PoPo所以取一階微擾近似可以得出泌v3時軌道

4、是穩(wěn)定的oA）1.2取二階微擾近似現(xiàn)對式（5）取二階微擾近似，考慮引力與距離〃次方成反比的情況，即i2f則i則式⑶變?yōu)?8)2有心力場中圓形軌道的穩(wěn)定性分析根據(jù)方程（8）進行如下兩種情況的分析討論.2.1當C=0時的穩(wěn)定性分析當G=0時，〃或,2=3.方程（8）退化為一階微量下的方程.由第①求解可知當〃=2時給岀穩(wěn)従軌道，當23時給岀不穩(wěn)疋軌道.若僅考慮在平方反比引力作用下，即n=2,則C?=l時，微擾偏差歹（0）的微分方程變?yōu)樽龀龃藭r的相圖，如圖1所示.從相圖可以看到每條軌線都是封閉的，這表

5、明相應的運動具有周而復始的周期性，即在平方反比引力作用下，圓形軌道具有很強的穩(wěn)定性.（圖1）微擾相圖2.2當G工0時的穩(wěn)定性分析當C冋時,令心+怎心卷，式⑻可化為d2xC；4C；(10)(11)7則有祭=詈=券知。等代入上迅有Q—+C{x2=adx其中q=￡L=_s_2).對式(]])積分，得4C,2(—2)(12)2Q_=2.cix-?—C

6、X^+B]其中冋為積分常數(shù).對式（12）分離變量，可得到通積分dx=0+B2(13)原則上通過對式（13）的分析可以得到軌道穩(wěn)定性條件.考慮引力與距離〃次

7、方成反比的情況，即p=k/=k2un?令/(x)=2ax-2C/+耳=⑺_2)("-3)宀—3忖十耳33如n-2則市廣⑴/一2)(_3)宀斗"%n-2得/(X)的駐點為西=上「，兀2=-n-2n-2(16)/ff(x)=(n-2)(n-3)x得廠3)=2(〃-3),r(x2)=-2(n-3).(1)當〃<2時的微擾相圖分析當?<2時，/7^)=2(n-3)<0,廠(兀2)=-2(/?-3)>0,根據(jù)極值的判定法則知/(x)在旺處取得極人值，在兀2處取得極小值.作岀此時式(12)的相圖如圖2所示.

8、(圖2)n<2的相圖圖中A點所在的臨界封閉軌道滿足/(x9)=0,則B嚴B()=_2("一3)川：；由3(/1-2)"/?(心)=0得A點坐標心=2仏?可以看到，在該軌線內(nèi)部的軌線是封閉的，對n-2應穩(wěn)建軌道；而該軌線以外的軌線都是開放的，對應不穩(wěn)肚軌道.即只有當心vxV左時軌道才可能是穩(wěn)定的，由此得到上「V歹V-竝.n-2n一2(1)當20,根據(jù)極值的判定法則知/(x)在壬處取得極人值，在兀2處取

9、得極小值.作出此時式(12)的相圖如圖3所示(圖3)23時的微擾相圖分析當n>3時，/ff(x1)=2(n-3)>0,/x2)=-2(n-3)<0,根據(jù)極值的判定法則知.f(