高中數(shù)學(xué)極值問題之探點(diǎn)

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1、高中數(shù)學(xué)極值問題之探點(diǎn)高中數(shù)學(xué)極值問題之探點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求極值問題，既要掌握求可導(dǎo)函數(shù)f(X)的步驟，又耍理解函數(shù)的極值是對(duì)函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，而且還要注意能判定函數(shù)f(X)的極值點(diǎn)，特別是耍對(duì)f(X)的定義域內(nèi)的兩類“點(diǎn)”都作出判定，即判定定義域內(nèi)所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),其次是判定定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)點(diǎn).探點(diǎn)一由函數(shù)的極值求參數(shù)值已知函數(shù)的極值求參數(shù)值是函數(shù)極值的逆向問題，求解時(shí)應(yīng)該注意兩點(diǎn)：(1)根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必

2、須驗(yàn)證解的合理性.例1設(shè)x=l和x=2是函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+l的兩個(gè)極值點(diǎn)，試求a和b的值.分析：由于本題中知道x二1和x=2是丙數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則fz(1)=0,fz(2)=0.解：f'(x)=5x4+3ax2+b,又因?yàn)閤二1和x=2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，則f‘(1)二0、f/(2)=0,即fz(l)=5+3a+b=0,f7(2)=24X5+22X3a+b=0,可以得到a=-253,b=20?反思:本題考查由函數(shù)的極值確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)，解題的切入點(diǎn)是運(yùn)用極值的含義，由已知向未知轉(zhuǎn)化，通過待定系數(shù)法，列出相應(yīng)的方程，從

3、而求解.探點(diǎn)二求函數(shù)的極值問題求函數(shù)極值的方法主要有根據(jù)定義求函數(shù)的極值，根據(jù)函數(shù)的圖象確定函數(shù)的極值，用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的極值等?用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的具體步驟是：第一，求導(dǎo)數(shù)f'(x)；第二，令f'(x)二0求方程的根；第三，列表，檢查f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該點(diǎn)處的極值情況.例2求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)=x3-3ax2~9a2x+a3,其中a二1；(2)f(2)=l-(x-2)23.分析：求函數(shù)的極值注意三個(gè)步驟來進(jìn)行解答.解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，f(x)=x3~3x2-9x+l,得f'(x)=3x2-6x~9,令

4、ff(x)=0,得到x=T或x=3.列表討論f(x)、fz(x)的變化情況：x[]-1)[]-1[](-1,3)[]3[](3,+°°)f'(x)[]+[]0[卜[]0[]+f(x)□□極大值f(-1)[][]極小值f⑶[]所以f(x)的極大值f(-1)=6,極小值是f(3)=-26.(2)當(dāng)xH2,f'(x)二-23(x-2)-13,f'(x)二0無解；當(dāng)x二2吋，f'(x)不存在.因此f(x)=l-(x-2)23在x二2處不可導(dǎo)，但當(dāng)x〈2時(shí)，f‘(x)>0；當(dāng)x>2吋，f‘(x)<0,故函數(shù)f(x)=l-(x-2)23在x二2處取得極大

5、值，且極大值為1.點(diǎn)評(píng)：根據(jù)函數(shù)的極值定義，函數(shù)在某點(diǎn)處存在極值，則應(yīng)該在該點(diǎn)的左右鄰域是單調(diào)的，并且單調(diào)性相反，因此要判斷函數(shù)是否有極值，不能只討論f‘(x)二0的點(diǎn)處的情況，還要考察f(x)不可導(dǎo)點(diǎn)處的極值情形.探點(diǎn)三由極值情況研究原函數(shù)圖象的性質(zhì)由函數(shù)的極值判斷方程根的變化情況，一般是利用數(shù)形結(jié)合的思想來討論方程的根，即先根據(jù)函數(shù)的極值情況畫出函數(shù)的草圖，再根據(jù)圖象觀察方程的根的變化情況.例3已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-l,aHO,若f(x)在x二T處取得極值，直線y二m與y二f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.分析：本

6、題涉及三次函數(shù)方程f(x)二m的根，用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性與極值，根據(jù)此可以描繪出三次函數(shù)y二f(x)的大致圖象與直線y二m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由形確定數(shù)，可使問題得到解決.解：f(x)在x二-1處取得極值，則f'(-1)二3X(-1)2-3a=0,所以a二1?即f(x)二x3-3x~l,得到f'(x)=3x2-3,由f'(x)二0得到x1二x2二1.當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)xW(_oo,-1)和xG(l,+oo)吋，函數(shù)f(X)為增函數(shù)；由此可以知道，f(X)在x=T處取得極大值f(-1)=1,在x=l處取得極

7、小值f(l)二-3?因?yàn)橹本€y二m與函數(shù)y二f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，乂極大值是1,極小值是-3，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可以知道ni的取值范圍是(-3,1)?反思：用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，是高考中的新題型，要特別重視.探點(diǎn)四用料最省(或費(fèi)用最低)問題用料最省、費(fèi)用最低問題求解時(shí)要根據(jù)題意明確哪一項(xiàng)指標(biāo)最省，將這一指標(biāo)表示為口變量x的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或其他方法求出最值，但一定要注意自變量的取值范圍.例4統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛過程中每小時(shí)的耗油量y關(guān)于行駛速度Xkm/h的解析式可以表示為：y二112800x3-380x+8(

8、0〈xW120),已知甲、乙兩地相距100km；(1)當(dāng)汽車以40km/h的速度勻速行駛吋，從甲地到乙地要耗油多少升?(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛吋，從甲地到乙