24定積分基本定理

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1、14-15學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案組題：常穎超審核：白露定稿：王鳳國勵志格言：不要等待機會，而要創(chuàng)造機會。2.4定積分與微積分基本定理姓名班級學(xué)號考綱要求：1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.2.了解微積分基本定理的含義.教學(xué)重點：了解定積分的概念，能用定義法求簡單的定積分，用微積分基本定理求簡單的定積分．教學(xué)過程：一．導(dǎo)讀1．定積分的定義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0

2、點ξi(i＝1,2，…，n)，當(dāng)n→∞時，和式f(ξi)無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx，即f(x)dx＝limf(ξi)，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．2．定積分的幾何意義如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么定積分f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(如圖陰影部分)，這就是定積分f(x)dx的幾何意義．3．定積

3、分的性質(zhì)(1)kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))；(2)[f1(x)±f2(x)]dx＝f1(x)dx±f2(x)dx；(3)f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a＜c＜b)．質(zhì)疑探究：你能用定積分的幾何意義解釋性質(zhì)(3)嗎？提示：如圖所示，設(shè)在區(qū)間[a，b]上恒有f(x)≥0，c是區(qū)間(a，b)內(nèi)的一點，那么從幾何圖形上看，直線x＝c把大的曲邊梯形分成了兩個小曲邊梯形，因此，大曲邊梯形的面積S是兩個小曲邊梯形的面積S1，S2之和，即S＝S1＋S2，用定積分表示就是性質(zhì)(3)．4．微積分基本定理一般地，如果f(x)是

4、區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)．這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式．(2)幾種典型的曲邊梯形面積的計算方法：①由三條直線x＝a、x＝b(a＜b)、y＝0，一條曲線y＝f(x)(f(x)≥0)圍成的曲邊梯形(如圖)的面積：S＝f(x)dx.②由三條直線x＝a、x＝b(a＜b)、y＝0，一條曲線y＝f(x)(f(x)≤0)圍成的曲邊梯形(如圖)的面積：S＝

5、f(x)dx

6、＝－f(x)dx.③由兩條直線x＝a、x＝b(a＜b)、兩條曲線y＝f(x)、y＝g(x)(f

7、(x)≥g(x))圍成的曲邊梯形(如圖)的面積：S＝[f(x)－g(x)]dx.二.導(dǎo)思、導(dǎo)研【探究一】利用微積分基本定理求定積分【例1】利用微積分基本定理求下列定積分：(1)(2)（3）【探究二】利用定積分求平面圖形的面積【例2】(2010年山東濰坊模擬)由拋物線y＝x2－1，直線x＝2，y＝0所圍成的圖形的面積是________．【探究三】定積分在物理方面的應(yīng)用【例3】一物體做變速直線運動，其vt曲線如圖所示，則該物體在s～6s間的運動路程為________．變式探究3：一物體以v＝3t2＋10t＋3的速度沿直線運動，則該物體開始

8、運動后5秒內(nèi)所經(jīng)過的路程s為________米．(速度單位：米/秒，路程單位：米)三．提升總結(jié)1.利用微積分基本定理求定積分(1)對被積函數(shù)，要先化簡，再求積分．(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和．(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值號再求積分．2.利用定積分求曲邊梯形面積的步驟：(1)畫出曲線的草圖．(2)借助圖形，確定被積函數(shù)，求出交點坐標(biāo)，確定積分的上、下限．(3)將“曲邊梯形”的面積表示成若干個定積分的和或差．(4)計算定積分，寫出答案．3.定積分在物理方面的應(yīng)用主要

9、包括：①求變速直線運動的路程；②求變力所做的功．14-15學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案組題：常穎超白露定稿：王鳳國勵志格言：不要等待機會，而要創(chuàng)造機會。2.4定積分與微積分基本定理姓名班級學(xué)號導(dǎo)練1．下列積分的值等于1的是(　　)A．1B．e－1C．eD．e＋14．(人教A版教材習(xí)題改編)汽車以v＝(3t＋2)m/s作變速直線運動時，在第1s至第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過的路程是________．5.給出如下命題：①dx＝dx＝b－a(a，b為常數(shù)且a

10、的面積之和為2.其中正確命題的個數(shù)為(　　)(A)0(B)1(C)2(D)3答案：例1.例2.例3.變式導(dǎo)練5.