極限、連續(xù)與間斷

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1、實用文檔第一章極限、連續(xù)與間斷本章主要知識點l求極限的幾類主要題型及方法l連續(xù)性分析l間斷判別與分類l連續(xù)函數(shù)的介值定理及應(yīng)用一、求極限的七類題型求極限問題歸納為七類主要題型，這里介紹前五類，后兩類在相應(yīng)的章節(jié)（洛必達法則，變限積分）再作相應(yīng)介紹。（1）題型I　　方法：上下同除以的最高次冪例1.1．解：原式例1.2．解：原式=12例1.3．標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔解：原式===例1.4．解：原式===例1.5．解：原式==1（2）題型II原式=例1.6．解：原式=1/2例1.7．解：原式=標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔例1.8．解：

2、原式===例1.9．解：令，原式=＝例1.10.解：a+2+b=0,原式=a=2,b=-4答案錯誤（3）題型III若，有界例1.11.解：因為?。剑?，而有界所以原式＝０。例1.12．解：因為?。ǎ?，有界，　　所以　原式＝０．標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔例1.13．解　因為　，有界；　所以原式＝０。（4）題型IV識別此類題型尤為重要，主要特征為未定式．步驟如下：例1.14．解：原式＝＝＝．例1.15．解：原式＝　　　?。健　　±?.16．解：原式=標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔（5）題型V等價無窮小替換替換公式：替換原則：乘除可換，加減忌

3、換。例1.17．錯解：=0例1.18．解：原式==-20例1.19．解：原式==例1.20．（題目可能有誤分子部分的9可能應(yīng)替換為19）解：令，則標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔原式＝＝＝＝答案錯誤例1.21．解：原式=例1.22.解：原式=例1.23.解：原式=例1.24.解：原式===標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔（6）題型VI洛必達法則（見導(dǎo)數(shù)相關(guān)內(nèi)容）；（7）題型VII變上限積分有關(guān)積分（見積分相關(guān)內(nèi)容）；、極限應(yīng)用—連續(xù)性分析定義：變形：,其中分別表示左、右極限。例1.25．，若在處連續(xù)，求。解：，故例1.26．，若在處連續(xù)，求解

4、：由得：故為任意實數(shù)標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔例1.27．，其中為有界函數(shù)，問在是否連續(xù)？解：因為所以，在處連續(xù)。例1.28．在可能連續(xù)嗎？解：，不論取何值，均不能連續(xù)。三、極限應(yīng)用—間斷識別及分類．識別方法：可能間斷點應(yīng)是其定義域中不能取值的端點或分段點。2．分類方法：（a），為可去間斷；（b），為第一類間斷，或稱跳躍型間斷；（c）、至少有一個不存在，為第二類間斷；特別地，若左右極限中至少有一為，則為第二類無窮間斷。例1.29．解：間斷點為，，,對于，,因為，所以為可去間斷。對于，當(dāng)，即，，可去間斷；標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔對

5、于，當(dāng)，即，,可去間斷；當(dāng)，，為第Ⅱ類無窮間斷。例1.30．解：間斷點，0，。在為Ⅱ類無窮間斷。，x=0為可去間斷點。例1.31．解：定義域為。間斷點為。因為，所以均為的Ⅱ類無窮間斷。例1.32．解：定義域為，間斷點為對于，，為第Ⅱ類無窮間斷；對于，，為第Ⅱ類間斷。注：對僅考慮了其一個單側(cè)極限。例1.33．標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔解：間斷點是：，x=0是可能間斷點。對于x=0，f(0+0)=,f(0-0)=,x=0為第Ⅱ類間斷；對于為第Ⅱ類間斷；對于x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，為第Ⅱ類間斷。注：分段函數(shù)左

6、右支分別識別，分段點單獨考慮。四、連續(xù)函數(shù)介值定理定理：在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且，則在至少有一零點，即存在，使得。應(yīng)用此定理需要注意以下幾點：(0)如何定義。區(qū)間的選擇，在證明題過程中，有明確的線索。驗證在閉區(qū)間上的連續(xù)性，驗證在兩端的符號。此定理不能確定是否具有唯一零點，但有唯一性的要求時，應(yīng)驗證在內(nèi)的單調(diào)性（參見導(dǎo)數(shù)應(yīng)用部分）例1.34．證明：在內(nèi)有一實根證：構(gòu)造，易知在上連續(xù)，且，，故，由連續(xù)函數(shù)介值定理知，在有實根，即命題得證。例1.35．證明至少有一正根證明：令，在內(nèi)連續(xù)，且，由閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)介值定理得，在

7、至少有一根，即命題得證。五、數(shù)列極限標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔定理：對充分大的n成立，，如果，那么。例1.36．解：因為，，所以，原式=1/2。單元練習(xí)題11．，則。2．如果，在處連續(xù)，則。3．與等價無窮小，，。4．與是等價無窮小，，。5．的間斷點為。6．，則，。7．在下列極限中，正確的是（）A．B．C．D．標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔8．若那么（）A．B．C．D．以上都不正確９．在下列極限中，不正確的是（）A．B．C．D．10．計算下列極限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔（10）（11）（12

8、）題目錯誤分子根號外部分應(yīng)為-號而不是+號11．分析函數(shù)的間斷點，并指明其類型。12．分析的間斷點，并指明其類型。13．分析的間斷點，并指明其類型。14．分析函數(shù)的間斷點，并指明其類型。15．證明方程至少有一正根，有一負(fù)根。16．證明：方程至少有一正根。17．。18．歷年真考題1、（2001）1、下列極限正確的是（C）A.B.C.D.標(biāo)準(zhǔn)文案實用文檔2、（2001）求函數(shù)的間斷點，并指