【8A版】初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題

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1、【MeiWei81-優(yōu)質(zhì)實(shí)用版文檔】初中數(shù)學(xué)中的折疊問(wèn)題監(jiān)利縣第一初級(jí)中學(xué)劉光杰折疊問(wèn)題（對(duì)稱(chēng)問(wèn)題）是近幾年來(lái)中考出現(xiàn)頻率較高的一類(lèi)題型，學(xué)生往往由于對(duì)折疊的實(shí)質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對(duì)這類(lèi)中檔問(wèn)題失分嚴(yán)重。本文試圖通過(guò)對(duì)在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問(wèn)題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)方法。其實(shí)對(duì)于折疊問(wèn)題，我們要明白：1、折疊問(wèn)題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對(duì)稱(chēng)變換．2、折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)．對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．3、對(duì)于折疊較為復(fù)雜的問(wèn)題可以實(shí)際操作圖形的折疊，在畫(huà)圖時(shí)，

2、畫(huà)出折疊前后的圖形，這樣便于找到圖形之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．4、在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，重合部分一般會(huì)是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形5、利用折疊所得到的直角和相等的邊或角，設(shè)要求的線段長(zhǎng)為G，然后根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)用含G的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折疊1．將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，∠CBD=度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC=∠GBC，∠EBD=∠HBD則∠CBD=90°折疊前后的對(duì)應(yīng)角相等2．如圖所示，一張矩形紙片沿BC折疊，頂點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，再過(guò)點(diǎn)A′折疊使

3、折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，則△ADE的面積是．沿BC折疊，頂點(diǎn)落在點(diǎn)A’處，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到BC垂直平分AA’，即AF=AA’，又DE∥BC，得到△ABC∽△ADE，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面積=24對(duì)稱(chēng)軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線3．如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對(duì)角線BD重合，得折痕DG，求AG的長(zhǎng)．由勾股定理可得BD=5，由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得△ADG≌△A’DG，由A’D=AD=3，AG’=AG，則A’B=5–3=2，在Rt△A’BG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到相等的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角

4、，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即可【MeiWei81-優(yōu)質(zhì)實(shí)用版文檔】【MeiWei81-優(yōu)質(zhì)實(shí)用版文檔】4．把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著B(niǎo)F折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則∠DFB等于（　?。└鶕?jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到∠ABE=∠CBE，∠EBF=∠CBF，據(jù)此即可求出∠FBC的度數(shù)，又知道∠C=90°，根據(jù)三角形外角的定義即可求出∠DFB=112.5°注意折疊前后角的對(duì)應(yīng)關(guān)系5．如圖，沿矩形ABCD的對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積．∵點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)，∴∠1=

5、∠2∵AD∥BC，∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴FB=FD設(shè)FD=G，則FB=G，F(xiàn)A=8–G在Rt△BAF中，BA2+AF2=BF2∴62+(8-G)2=G2解得G=所以，陰影部分的面積S△FBD=FD×AB=××6=cm2重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形6．將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角∠FEC=64°，則∠1=度；△EFG的形狀三角形．∵四邊形CDFE與四邊形C’D’FE關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)∴∠2=∠3=64°∴∠4=180°-2×64°=52°∵AD∥BC∴∠1=∠4=52°∠2=∠5又∵∠2=∠3∴∠3=∠5∴GE=GF∴△EFG是等腰三角形對(duì)折前后圖形的位置變化，但

6、形狀、大小不變，注意一般情況下要畫(huà)出對(duì)折前后的圖形，便于尋找對(duì)折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰△GEF7．如圖，將矩形紙片ABCD按如下的順序進(jìn)行折疊：對(duì)折，展平，得折痕EF（如圖①）；延CG折疊，使點(diǎn)B落在EF上的點(diǎn)B′處，（如圖②）；展平，得折痕GC（如圖③）；沿GH折疊，使點(diǎn)C落在DH上的點(diǎn)C′處，（如圖④）；沿GC′折疊（如圖⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如圖⑥）．（1）求圖②中∠BCB′的大??；（2）圖⑥中的△GCC′是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【MeiWei81-優(yōu)質(zhì)實(shí)用版文檔】【MeiWei81-優(yōu)質(zhì)實(shí)用版文檔】（1）由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知：B’C=BC，然后在Rt△

7、B′FC中，求得cos∠B’CF=，利用特殊角的三角函數(shù)值的知識(shí)即可求得∠BCB’=60°；（2）首先根據(jù)題意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’=60°，然后由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)知：GH是線段CC’的對(duì)稱(chēng)軸，可得GC’=GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一個(gè)折疊過(guò)程中的變與不變8．如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為四邊形BCFE與四邊形B′C′FE關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，則①②