關(guān)于近年高考中函數(shù)應(yīng)用題的探討

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1、關(guān)于近年高考中函數(shù)應(yīng)用題的探討內(nèi)容摘要:應(yīng)用性問題是江蘇省歷年高考命題的主要題型之一，也是考生失分較多的一種題型。江蘇省高考中一般編制一道解答題，大概在第17題或是第18題。解答這類問題的關(guān)鍵是深刻理解題意，學(xué)會(huì)文字語言向數(shù)學(xué)的符號(hào)語言的翻譯轉(zhuǎn)化，找到數(shù)量關(guān)系，建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)建模分式函數(shù)分段函數(shù)關(guān)系分析正文:所謂應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些非數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題。數(shù)學(xué)的高度抽象性決定了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，因而應(yīng)用題的非數(shù)學(xué)背景是多種多樣的，解應(yīng)用題往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的有關(guān)問題，并舍棄與數(shù)學(xué)無關(guān)的非本質(zhì)因素，通過抽象轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)

2、學(xué)問題，或許正是這個(gè)原因讓學(xué)生比較懼怕數(shù)學(xué)應(yīng)用題。要處理好函數(shù)應(yīng)用題，要抓住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一、關(guān)鍵之一——學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)建模分析的步驟解應(yīng)用題的一般思路：首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，就是從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過去粗取精、抽象概況、利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去。在解決時(shí)要做到“讀、建、解、答”四步。1、讀：閱讀材料，理解題意，去粗存精，先粗讀一遍，在關(guān)鍵的字、句和式子下畫上橫線，再精讀，抓住關(guān)鍵點(diǎn)，弄清問題的變換過程，尋找數(shù)量關(guān)系；2、建：在精讀的基

3、礎(chǔ)上，找數(shù)量關(guān)系，采用會(huì)涉及到的知識(shí)點(diǎn)、原理，分析數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，將文字語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式（等式或者不等式）表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系；3、解：選用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)、工具和方法對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、求解，得到相應(yīng)地?cái)?shù)學(xué)結(jié)論；4、答：再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去，符合客觀地實(shí)際情況，要進(jìn)行適當(dāng)?shù)尿?yàn)證二、關(guān)鍵之二——掌握數(shù)學(xué)建模分析的具體方法1、關(guān)系分析法:找關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量間數(shù)量關(guān)系的方法來建立問題的數(shù)學(xué)模型方法BCDAOP【例1】（08江蘇）某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工

4、廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A、B與等距離的一點(diǎn)O處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO、BO、OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm。（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：①設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)OP=x(km)，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式；（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短。解：（Ⅰ）①由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，則,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函數(shù)關(guān)系式為②若OP=(km)，則OQ＝10－，所以O(shè)A=OB=所求函數(shù)關(guān)系式為（Ⅱ）選

5、擇函數(shù)模型①，令0得sin，因?yàn)?，所?，當(dāng)時(shí)，，是的減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是的增函數(shù)，所以當(dāng)=時(shí)，。這時(shí)點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊km處。2、圖像分析法:通過對(duì)圖像中的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析來建立問題數(shù)學(xué)模型的方法【例2】：某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．（1）寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式P；寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q；（2）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大

6、．解：（1）由圖-可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為P=由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為Q=（t-150）2+100，0≤t≤300（2）設(shè)t時(shí)刻的純收益為h，則由題意得h=P-Q，當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得h=（t-50）2+100所以，當(dāng)t=50時(shí)，h（t）取得區(qū)間[0，200]上的最大值100當(dāng)200＜t≤300時(shí)，配方整理得h=（t-350）2+100所以，當(dāng)t=300時(shí)，h取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5綜上，由100＞87.5可知，h在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿

7、純收益最大．3、圖表分析法:通過對(duì)圖表中給出數(shù)量關(guān)系進(jìn)行分析處理來建立數(shù)學(xué)模型的方法【例3】：某種商品進(jìn)貨單價(jià)為40元，按單價(jià)每個(gè)50元售出，能賣出50個(gè).如果零售價(jià)在50元的基礎(chǔ)上每上漲1元，其銷售量就減少一個(gè)，問零售價(jià)上漲到多少元時(shí)，這批貨物能取得最高利潤.零售價(jià)50515253….50+x銷售量50494847….50-x分析：利潤=（零售價(jià)—進(jìn)貨單價(jià)）銷售量故有：設(shè)利潤為y元，零售價(jià)上漲x元y=（50+x-40）（50-x）即零售價(jià)上漲到70元時(shí)，這批貨物取得最高利潤為900元.三、關(guān)鍵之三——注意語言表達(dá)的完整性數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解不同于一般的數(shù)學(xué)運(yùn)算題

8、，有人比喻它是數(shù)學(xué)中的小作文，因此解數(shù)