應(yīng)用導(dǎo)數(shù)揣摸函數(shù)的單調(diào)性教案

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1、§1.3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.3.1利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【學(xué)習(xí)要求】1.結(jié)合實例，直觀探索并掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并能夠利用單調(diào)性證切一?些簡單的不等式.3.會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).【學(xué)法指導(dǎo)】結(jié)合函數(shù)圖象(兒何直觀)探討歸納兩數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負之間的關(guān)系，體會數(shù)形結(jié)合思想，以直代Illi思想.-般地，在區(qū)間(a,b)內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系:導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性fz(x)>0單調(diào)遞增ff(x)<0單調(diào)遞—減—f‘(x)=0常函數(shù)探究點一函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負的關(guān)系問題1觀察

2、下而四個函數(shù)的圖象，冋答函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有何關(guān)系?yOab<:X答：⑴在區(qū)間(一°°,+°°)內(nèi)，y'=1>0,y(x)是增函數(shù)：(2)在區(qū)間(一8,0)內(nèi),y'=2x<0,y(x)是減函數(shù)；在區(qū)間(0,十8)內(nèi)，y'=2x>0,y(x)是增函數(shù)；(3)在區(qū)間(一8,+8)亦，y'=3xGo,畑是增函數(shù);(4)在區(qū)間(一8,0),(0,十8)內(nèi)，y'=—^7<0,y(x)是減函數(shù).小結(jié)一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負有如下關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f'(x)>(),那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果V(x)<0

3、,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.問題2若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增，那么f‘(x)—定大于零嗎？答：由問題1中⑶知f'(x)$0恒成立.問題3(1)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么如何表示這些區(qū)間？試寫出問題1屮(4)的單調(diào)區(qū)間.(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與其定義域滿足什么關(guān)系？答:(1)不能用“U”連接,只能用“,”或“和”字隔開.問題1中(4)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0),(0,+8).(2)函數(shù)的單調(diào)性是對函數(shù)定義域內(nèi)的某個子區(qū)間而言的，故單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.例1已知導(dǎo)函數(shù)f‘(x)的下列信息：當l<

4、x<4時，(x)>0；當x>4或x0,可知f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當x>4或XVI時,r(x)<0,可知f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;當x=4或x=l時，F(xiàn)(x)=0,這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點”.綜上，函數(shù)f(x)圖象的大致形狀如圖所示.小結(jié)本題具有一定的開放性，圖象不唯一，只要能抓住問題的本質(zhì)，即在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性符合題意就可以了.跟蹤訓(xùn)練1函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，試畫出導(dǎo)函數(shù)f‘(x)圖象的人致

5、形狀.解f‘(x)圖象的人致形狀如下圖:注：圖象形狀不唯一.例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)=x3—4x2+x—1；(2)f(x)=2x(ex-l)-x2；(3)f(x)=3x2—21nx.解(l)f'(x)=3x2-8x+1.令3x2-8x+1>0,解此不等式,得因此，區(qū)間(一8,4和+T為f(x)的單調(diào)增區(qū)間.令3x2—8x+1<0,解此不等式,得或。呼4—4+^T^30

6、；當xW(—1,0)時,f(x)<0；當xe(0,+8)時,f(x)>0.故f(x)在(一8,-1),(0,+?)上單調(diào)遞增,在(—1,0)上單調(diào)遞減.(3)兩數(shù)的定義域為(0,+8),,23x2—1f(x)=6x--=2-^—.3x2—1令f‘(x)>0,即2?>0,x解得一￥￥乂Vx>0,3x2—1令f'(x)<0,即2?<0,X解得xv—平或00,二0

7、)求出卩(x)=()的根(也可以直接解f'(x)>0和F(x)<0)；(4)用『(x)=()的根將f(x)的定義域分成若干區(qū)間，列表考查這若干個區(qū)間內(nèi)『(X)的符號，進而確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.跟蹤訓(xùn)練三求卞列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(l)f(x)=x2-lnx；(2)f(x)=^；(3)f(x)=sinx(l+cosx)(0Wx<27t)解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+8).f，(x)=2x_l=^x-l)(^x+l)XX因為x>0,所以邁x+l>0,由f'(x)>0得x>￥，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為俘，+-)；由f'(x)<0得x<￥，

8、又xe(0,+8),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,(2)函數(shù)f(x)的定義域為(一I2)U(2,+8).f‘(x)=cx(x~2