恒成立能成立問題總結(jié)

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1、恒成立問題的類型和能成立問題及方法處理函數(shù)與不等式的恒成立、能成立、恰成立問題是高中數(shù)學(xué)中的一個重點、難點問題。這類問題在各類考試以及高考中都屢見不鮮。感覺題型變化無常，沒有一個固定的思想方法去處理，一直困擾著學(xué)生，感到不知如何下手。在此為了更好的準確地把握快速解決這類問題，本文通過舉例說明這類問題的一些常規(guī)處理。一、函數(shù)法（一）構(gòu)造一次函數(shù)利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性來解決對于一次函數(shù)有：例1若不等式對滿足的所有都成立，求的范圍。解析：將不等式化為：，構(gòu)造一次型函數(shù)：原命題等價于對滿足的，使恒成立

2、。由函數(shù)圖象是一條線段，知應(yīng)解得，所以的范圍是。小結(jié)：解題的關(guān)鍵是將看來是解關(guān)于的不等式問題轉(zhuǎn)化為以為變量，為參數(shù)的一次函數(shù)恒成立問題，再利用一次函數(shù)的圖象或單調(diào)性解題。練習:(1)若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（2）對于的一切實數(shù)，不等式恒成立，求的取值范圍。（答案：或）（二）構(gòu)造二次函數(shù)利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及二次方程根的分布來解決。對于二次函數(shù)有：（1）上恒成立；（2）上恒成立（3）當時，若上恒成立若上恒成立（4）當時，若上恒成立若上恒成立例2若關(guān)于的二次不等式：的解集為，求的取值范

3、圍.解：由題意知，要使原不等式的解集為，即對一切實數(shù)原不等式都成立。只須.∴的取值范圍是說明：1、本題若無“二次不等式”的條件，還應(yīng)考慮的情況，但對本題講時式子不恒成立。2、只有定義在R上的恒二次不等式才能實施判別式法；否則，易造成失解。練習：1、已知函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍。（答案）2、已知函數(shù)在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍。（答案）提示：構(gòu)造一個新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，再利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進行分類討論，使問題得到圓滿解決。（三）、利用函數(shù)的最值-----分離參數(shù)法或值域法若在等式或不等式

4、中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊即分離參變量，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。注意參數(shù)的端點值能否取到需檢驗。類型一：“”型一、（恒成立）（1）恒成立；（2）恒成立；二、（能成立、有解）：（1）能成立；（2）能成立；三、（恰成立）（1）不等式在區(qū)間上恰成立不等式的解集為；（2）不等式在區(qū)間上恰成立不等式的解集為.四、（方程有解）方程在某個區(qū)間上有解，只需求出在區(qū)間上的值域A使。例3：設(shè)其中，如果時，恒有

5、意義，求的取值范圍。解：如果時，恒有意義對恒成立，恒成立。令，，又，則對恒成立，又在上為減函數(shù)，，例4：若關(guān)于的不等式的解集不是空集，則實數(shù)的取值范圍。解：設(shè).則關(guān)于的不等式的解集不是空集在R上能成立,即，解得例5不等式有解，求的取值范圍。解：不等式有解能成立能成立，所以。例6（2008年上海）已知函數(shù)f(x)＝2x－若不等式2tf(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解：本題可通過變量分離來解決．當時，即，，，故的取值范圍是例7（1990年全國）設(shè)，其中a為實數(shù)，n

6、為任意給定的自然數(shù)，且，如果當時有意義，求a的取值范圍．解：本題即為對于，有恒成立．這里有三種元素交織在一起，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以下手，若考慮到求a的范圍，可先將a分離出來，得，對于恒成立．構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，由于函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則在上為單調(diào)增函數(shù)．于是有的最大值為，從而可得．如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習題的實際,采取合理有效的方法進行求解,通?？梢钥紤]利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等

7、方法求函數(shù)f（x）的最值．類型二：“”型例8已知f(x)=lg(x+1)，g(x)=lg(2x+t)，若當x∈[0,1]時，f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.解f(x)≤g(x)在x∈[0,1]恒成立，即在x∈[0,1]恒成立在[0,1]上的最大值小于或等于零.　　令，　　.　　∵x∈[0,1]，　　∴F′(x)＜0，即F(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，F(xiàn)(0)是最大值.　　∴f(x)≤F(0)=1-t≤0，即t≥1.類型三：“”型（恒成立和能成立交叉）：（1）成立；例9已知兩個函數(shù)，其

8、中為實數(shù)。（1）對任意，都有成立，求的取值范圍；（2）存在，使成立，求的取值范圍；（3）對任意，都有，求的取值范圍。解析：（1）設(shè)問題轉(zhuǎn)化為時，恒成立，故。令，得。由，故由。（2）據(jù)題意：存在，使成立在有解，故，由（1）知，于是得。（3）分析：它與（1）問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別。對任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，因而要使原不等式恒成立的充要條件是：，由，得，易得，又，.故，令。例10：（2010山東）已知函數(shù).(Ⅰ)當時，