抽象函數(shù)_題型大全(例題_含答案)

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1、......高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比較抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)的問題感到困難，學(xué)好這部分知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)?，F(xiàn)將常見解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1.換元法：即用中間變量表示原自變量的代數(shù)式，從而求出，這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1：已知,求.解：設(shè),則∴∴2.湊合法：在已知的條件下，把并湊成以表示的代數(shù)式，再利用代換即可求.此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。例2：已知，求解：∵又∵∴，(

2、

3、≥1)3.待定系數(shù)法：先確定函

4、數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例3．已知二次實(shí)函數(shù)，且+2+4,求.解:設(shè)=，則=比較系數(shù)得∴4.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性,求分段函數(shù)的解析式.例4.已知=為奇函數(shù),當(dāng)>0時(shí),,求參考材料......解:∵為奇函數(shù)，∴的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求<0時(shí)的表達(dá)式?！?>0,∴,∵為奇函數(shù)，∴∴當(dāng)<0時(shí)∴例5．一已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且有+，求,.解：∵為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴,,不妨用-代換+=………①中的,∴即－……②顯見①+②即可消去,求出函數(shù)再代入①求出5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出的表達(dá)式例6：

5、設(shè)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件,及=1,求解：∵的定義域?yàn)镹，取=1,則有∵=1,∴=+2,……以上各式相加，有=1+2+3+……+=∴二、利用函數(shù)性質(zhì)，解的有關(guān)問題1.判斷函數(shù)的奇偶性：例7已知,對(duì)一切實(shí)數(shù)、都成立，且,求證為偶函數(shù)。證明：令=0,則已知等式變?yōu)椤僭冖僦辛?0則2=2∵≠0∴=1∴∴∴為偶函數(shù)。2.確定參數(shù)的取值范圍例8：奇函數(shù)在定義域（-1，1）內(nèi)遞減，求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍。參考材料......解：由得，∵為函數(shù)，∴又∵在（-1，1）內(nèi)遞減，∴3.解不定式的有關(guān)題目例9：如果=對(duì)任意的有,比較的大小解：對(duì)任意有∴=2為拋物線=的對(duì)稱軸

6、又∵其開口向上∴(2)最小，(1)=(3)∵在［2，＋∞)上，為增函數(shù)∴(3)<(4),∴(2)<(1)<(4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù)線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，f（－1）＝－2，求f（x）在區(qū)間[－2，1]上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)f（x）是的抽象函數(shù)，因此求函數(shù)f（x）的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，∵，∴，即，∴f（x）為增函數(shù)。在條件中，令y＝－x，則，再令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝2f（0）

7、，∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）為奇函數(shù)，∴　f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域?yàn)椋郏?，2］。參考材料......例2、已知函數(shù)f（x）對(duì)任意，滿足條件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f（x）是y＝x＋2的抽象函數(shù)，且f（x）為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜想正確，也就可以脫去不等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。解：設(shè)，∵當(dāng)，∴，則，即，∴f（x）為單調(diào)增函數(shù)。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不

8、等式的解為－1

9、；②；③f（2）＝4。同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，說明理由。參考材料......分析：由題設(shè)可猜想存在，又由f（2）＝4可得a＝2．故猜測(cè)存在函數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）x＝1時(shí)，∵，又∵x∈N時(shí)，f（x）＞0，∴，結(jié)論正確。（2）假設(shè)時(shí)有，則x＝k＋1時(shí)，，∴x＝k＋1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)。3、對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足，求：（1）f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè)f（x

10、）是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，