開孔板問題

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1、開孔板的問題（應(yīng)力集中的問題）一.引言應(yīng)力集中即Stressconcentration，是指受力構(gòu)件由于外界因素或自身因素幾何形狀、外形尺寸發(fā)生突變而引起局部范圍內(nèi)應(yīng)力顯著增大的現(xiàn)象。在彈性力學(xué)中，這是一類問題，應(yīng)力在固體局部區(qū)域內(nèi)顯著增高的現(xiàn)象。多出現(xiàn)于尖角、孔洞、缺口、溝槽以及有剛性約束處及其鄰域。應(yīng)力集中會(huì)引起脆性材料斷裂；使物體產(chǎn)生疲勞裂紋。在應(yīng)力集中區(qū)域，應(yīng)力的最大值（峰值應(yīng)力）與物體的幾何形狀和加載方式等因素有關(guān)。局部增高的應(yīng)力值隨與峰值應(yīng)力點(diǎn)的間距的增加而迅速衰減。由于峰值應(yīng)力往往超過屈服極限而造成應(yīng)力的重新分配，所以，實(shí)際的峰值應(yīng)力常低于按彈性力學(xué)計(jì)算

2、出的理論峰值應(yīng)力。反映局部應(yīng)力增高程度的參數(shù)稱為應(yīng)力集中系數(shù)k，它是峰值應(yīng)力與不考慮應(yīng)力集中時(shí)的應(yīng)力的比值，恒大于1且與載荷大小無關(guān)。二．產(chǎn)生應(yīng)力集中的原因構(gòu)件中產(chǎn)生應(yīng)力集中的原因主要有：(1)截面的急劇變化。如：構(gòu)件中的油孔、鍵槽、缺口、臺(tái)階等。(2)受集中力作用。如：齒輪輪齒之間的接觸點(diǎn)，火車車輪與鋼軌的接觸點(diǎn)等。(3)材料本身的不連續(xù)性。如材料中的夾雜、氣孔等。(4)構(gòu)件中由于裝配、焊接、冷加工、磨削等而產(chǎn)生的裂紋。(5)構(gòu)件在制造或裝配過程中，由于強(qiáng)拉伸、冷加工、熱處理、焊接等而引起的殘余應(yīng)力。這些殘余應(yīng)力疊加上工作應(yīng)力后，有可能出現(xiàn)較大的應(yīng)力集中。(6)構(gòu)件

3、在加工或運(yùn)輸中的意外碰傷和刮痕。三．彈性力學(xué)中的應(yīng)力集中1.工程結(jié)構(gòu)中常開設(shè)孔口最簡單的為圓孔。彈性力學(xué)研究‘小孔口問題’，應(yīng)符合(1)孔口尺寸＜＜彈性體尺寸，孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)局限于小范圍內(nèi)。(2)孔邊距邊界較遠(yuǎn)（＞1.5倍孔口尺寸）孔口與邊界不相互干擾。當(dāng)彈性體開孔時(shí),在小孔口附近,將發(fā)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。2.孔邊應(yīng)力集中：孔邊附近區(qū)域應(yīng)力發(fā)生局部增大的現(xiàn)象。特點(diǎn)：.（1）.孔邊周圍應(yīng)力局部增大（應(yīng)力重新分布）（2）.集中是在一定范圍內(nèi)，是局部現(xiàn)象，超過一定距離就無影響。（3）.集中同孔的形狀有關(guān)，與孔的大小無關(guān)。3、1.帶小圓孔的矩形板，四邊受均布拉力q，圖(a)。

4、將外邊界改造成為圓邊界，作則有內(nèi)邊界條件為利用圓環(huán)的軸對(duì)稱解答，取且R＞＞r，則得應(yīng)力解答：最大應(yīng)力發(fā)生在孔邊所以應(yīng)力集中系數(shù)為2。2、帶小圓孔的矩形板.x,y向分別受拉壓力,圖(b)。3、作圓，求出外邊界條件為內(nèi)邊界條件為應(yīng)用半逆解法求解(非軸對(duì)稱問題):由邊界條件,假設(shè)由關(guān)系,假設(shè),所以設(shè)代入相容方程除去，為歐拉方程，得解前面給出的邊界條件為：(b)(c)校核邊界條件(b),(c),求出A,B,C,D，得應(yīng)力解答：在孔邊，最大、最小應(yīng)力為，應(yīng)力集中系數(shù)為3、帶小圓孔的矩形板，只受x向均布拉力q。(1)疊加原理(2)(2)應(yīng)用疊加原理(此時(shí)令)，得應(yīng)力解答:討論：(

5、1)孔邊應(yīng)力最大應(yīng)力3q，最小應(yīng)力-q(2)y軸上應(yīng)力，=遠(yuǎn)處=可見,距孔邊1.5D處,由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)<5%。3)x軸上應(yīng)力=遠(yuǎn)處=同樣,距孔邊1.5D處,由于孔口引起的應(yīng)力擾動(dòng)<5%。4、小孔口的應(yīng)力集中現(xiàn)象(1)集中性--孔口附近應(yīng)力>>遠(yuǎn)處的應(yīng)力，孔口附近應(yīng)力>>無孔時(shí)的應(yīng)力。(2)局部性--應(yīng)力集中區(qū)域很小，約在距孔邊1.5倍孔徑(D)范圍內(nèi)。此區(qū)域外的應(yīng)力擾動(dòng)，一般<5%。(3)凹角的角點(diǎn)應(yīng)力高度集中,曲率半徑愈小,應(yīng)力愈大。5、一般小孔口問題的分析：(1)假設(shè)無孔，求出結(jié)構(gòu)在孔心處的2)求出孔心處主應(yīng)力。(3)在遠(yuǎn)處的均勻應(yīng)力場的作用下,求出孔口附

6、近的應(yīng)力6、其他小孔口問題的解答應(yīng)用彈性力學(xué)問題的復(fù)變函數(shù)解法，已經(jīng)解出許多各種形狀的小孔口問題的解答。這是一種求解彈性力學(xué)解答的解析方法，它將復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部(均為實(shí)函數(shù))分別表示彈性力學(xué)的物理量，將彈性力學(xué)的相容方程(重調(diào)和方程)也化為復(fù)變函數(shù)方程，并結(jié)合邊界條件進(jìn)行求解。四.降低應(yīng)力集中的方法工程中常用以下幾種方法來降低應(yīng)力集中程度：1.修改應(yīng)力集中因素的形狀(1)用圓角代替尖角。將尖角改為圓角，能有效地緩和應(yīng)力集中程度。一般來講，圓角的曲率半徑在可能的范圍內(nèi)愈大愈好。(2)采用流線形或拋物線形的表面過渡。有時(shí)圓角并不對(duì)應(yīng)于最小的應(yīng)力集中，如果采用流線形變化

7、的截面，效果會(huì)更好。為了縮短流線形表面的變化長度，可以采用拋物線形表面過渡。(3)用橢圓孔代替圓孔。在保證構(gòu)件正常工作的情況下，如果將圓孔改為橢圓孔，往往能提高構(gòu)件的強(qiáng)度。例如，將圖2所示的受拉平板中的圓孔改為橢圓孔，如圖6所示，則橢圓孔邊A點(diǎn)的應(yīng)力集中系數(shù)為(5)當(dāng)時(shí)，由(5)式可得，比圓孔（）時(shí)的降低了。由于橢圓孔難以加工，因此，工程上常簡單地用兩個(gè)圓弧來代替橢圓孔。