構(gòu)造輔助函數(shù) 利用導(dǎo)數(shù)解決一類不等式問題

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1、構(gòu)造輔助函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)解決一類不等式問題不等式問題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考命題的一種熱點(diǎn)題型。這類題目往往沒有直接給出具體的函數(shù)解析式，需要根據(jù)具體的題意，根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)，構(gòu)造出合適的輔助函數(shù)，然后以導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，從而找到解決這類問題的途徑。題目本身特點(diǎn)不同，所構(gòu)造的函數(shù)可有多種形式，需要具體問題具體分析，這里給出幾種常用的構(gòu)造技巧．（一）與一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等初中所學(xué)的三種常見函數(shù)相結(jié)合②對(duì)于不等式xf′(x)－f(x)>0

2、(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(x≠0)；③對(duì)于不等式xf′(x)＋nf(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝xnf(x)；例（）已知定義域?yàn)閧x

3、x≠0}的偶函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)x滿足xf′(x)>－2f(x)，若g(x)＝x2f(x)，則不等式g(x)

4、當(dāng)x>0時(shí)，xf′(x)＋2f(x)>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，則g(x)也是偶函數(shù)，所以g(x)＝g(

5、x

6、)，由g(x)

7、x

8、)

9、(x)≤0，且x>0，f(x)≥0.∴f′(x)≤－，即f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．又00(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝exf(x)；2.對(duì)于不等式f′(x)－f(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝；例1．函數(shù)f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>f′(x)對(duì)任意x∈R都成立，則下列不等式中成立的是(　　)A．f(

10、2018)>e2018f(0)，f(2018)>ef(2017)B．f(2018)>e2018f(0)，f(2018)ef(2017)D．f(2018)f′(x)，得f′(x)－f(x)<0，所以g′(x)＝＝<0，即函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減．所以<<，即有f(2018)

11、切等三角函數(shù)結(jié)合1．對(duì)于不等式f(x)－f′(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(sinx≠0)；2．對(duì)于不等式f′(x)－f(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝cosxf(x)；3．對(duì)于不等式f′(x)＋f(x)tanx>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(cosx≠0)．例2．已知定義在內(nèi)的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且對(duì)任意的x∈，都有f′(x)sinx

12、x)在內(nèi)為減函數(shù)．由f(x)<2fsinx，得<2f＝，即g(x)0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝f(x)g(x)；②對(duì)于不等式f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0(或<0)，構(gòu)造函數(shù)F(x)＝(g(x)≠0)．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)．當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x

13、)g(x)<0的解集為(　　)A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：選D　設(shè)F(x)＝f(x)g(x)，當(dāng)x<0時(shí)，∵F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，∴F(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．又∵F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)