【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文】二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

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1、（20__屆）本科畢業(yè)論文二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用摘要：本文首先對(duì)楊輝三角形的相關(guān)背景資料進(jìn)行了整理，歸納了楊輝三角形的基本性質(zhì)，并梳理了它與二項(xiàng)式定理之間的關(guān)系，繼而又從二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)、系數(shù)的性質(zhì)等方面對(duì)二項(xiàng)式定理的推廣和應(yīng)用進(jìn)行了綜述。在文章的最后，舉例說明了較為實(shí)用的矩陣二項(xiàng)式定理。關(guān)鍵詞：二項(xiàng)式定理；楊輝三角；系數(shù)恒等式TheBinomialTheoremandItsApplicationsAbstract:ThisarticlefirstYanghuiTrianglerelevantbackgroundin

2、formationwereconsolidated,summarizedthebasicpropertiesofYanghuiTriangle,andcombeditwiththerelationshipbetweenthebinomialtheorem,andthenthegeneraltermandfromthebinomialtheorem,thecoefficientofthenatureofIntermsofthebinomialtheoremandapplicationsarereviewed.Atl

3、ast,amorepracticalexampleofamatrixbinomialtheorem.Keywords:binomialtheorem;YangHuitriangle;coefficientidentities目錄1引言12楊輝三角形與二項(xiàng)式定理的關(guān)系12.1楊輝三角12.2楊輝三角的基本性質(zhì)22.3排列與組合中的加法規(guī)則和乘法規(guī)則32.3.1加法規(guī)則32.3.2乘法規(guī)則32.3.3組合的原理42.4二項(xiàng)式定理42.4.1數(shù)學(xué)歸納法42.4.2二項(xiàng)式定理的證明52.4.3二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)73二項(xiàng)式定

4、理的推廣與應(yīng)用83.1二項(xiàng)式定理的推廣形式83.2二項(xiàng)式定理的應(yīng)用83.2.1對(duì)二項(xiàng)式定理的直接應(yīng)用93.2.2二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)的應(yīng)用93.2.3二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用103.2.4費(fèi)爾馬小定理的新證明113.2.5矩陣的二項(xiàng)式定理15總結(jié)17致謝18參考文獻(xiàn)19嘉興學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）171引言二項(xiàng)式定理是初等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理,其形成過程是組合知識(shí)的應(yīng)用,同時(shí)也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的準(zhǔn)備知識(shí),在高等數(shù)學(xué)中更是許多重要公式的共同基礎(chǔ)。而二項(xiàng)式定理以及它的各種推廣形式在初等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)中都有重要的理論和

5、應(yīng)用價(jià)值。而在西方，1665年，剛好22歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理，這對(duì)于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。雖然當(dāng)時(shí)無法給出二項(xiàng)式定理的證明，但可以肯定二項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開式是研究級(jí)數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學(xué)分析、方程理論的有力工具。隨著社會(huì)的發(fā)展，二項(xiàng)式定理被人們最為廣泛的應(yīng)用于組合原理當(dāng)中。組合原理又稱組合數(shù)學(xué)或組合論。它所研究的中心問題是根據(jù)一定的規(guī)則來安排某些事物的有關(guān)數(shù)學(xué)問題，但組合原理中的許多問題都是數(shù)學(xué)中的精華。組合原理的應(yīng)用也涉及到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的許多領(lǐng)域。例如，它在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼理論、通信網(wǎng)絡(luò)、電子工程、

6、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、交通運(yùn)輸、社會(huì)經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理科學(xué)等領(lǐng)域中都有著廣泛的使用價(jià)值，特別是在計(jì)算機(jī)科學(xué)中有著重要的應(yīng)用。這不僅因?yàn)樗沁@門學(xué)科的重要基礎(chǔ)，更為主要的原因是計(jì)算機(jī)科學(xué)的核心是算法的研究，而組合算法是算法的重要組成部分。本文基于二項(xiàng)式定理的相關(guān)性，參考國內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，就二項(xiàng)式定理的各種證明方法、各種推廣形式以及二項(xiàng)式定理在學(xué)科中的應(yīng)用進(jìn)行綜述。2楊輝三角形與二項(xiàng)式定理的關(guān)系2.1楊輝三角提及二項(xiàng)式定理就不得不說楊輝三角，中國古代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)的許多重要領(lǐng)域中處于遙遙領(lǐng)先的地位。中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，

7、而楊輝三角的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁。北宋人賈憲約1050年首先使用“賈憲三角”進(jìn)行高次開方運(yùn)算，南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》（1261年）記載并保存了“賈憲三角”，故稱楊輝三角。楊輝三角在我國古代大多是用來作為開方的工具。直到現(xiàn)在，我們?cè)诖鷶?shù)學(xué)中學(xué)到的開平方的方法，仍然是從楊輝三角中得來的。可見，楊輝三角與二項(xiàng)式定理之間有著不同尋常的關(guān)系。17圖2-1：開方作法本源圖2-1被稱為“楊輝三角”。楊輝三角并不是楊輝發(fā)明的，原來的名字也不是“三角”,而是“開方作法本源”；后來也有人稱為“乘法求廉圖”。這些名稱實(shí)在太

8、古奧了些，所以我們簡(jiǎn)稱之為“三角”。楊輝是我國宋朝時(shí)候的數(shù)學(xué)家，他在公元1261年著了一本名為《詳解九章算法》的書，里面畫了這樣一張圖，并且說這個(gè)方法出于《釋鎖算書》，賈憲曾經(jīng)用過它。楊輝還說明了表里除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和，故人們把此表稱之為“楊輝三角形”或“楊輝法則”。但《釋鎖算書》早已失傳，這書刊行的年代無從查考，是不是賈憲所著也不可知，更不知道在賈