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《【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)】【畢業(yè)論文】幾類可化為伯努利方程求解的一階微分方程 》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、（20__屆）本科畢業(yè)論文幾類可化為伯努利方程求解的一階微分方程 摘要:本文在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上研究幾類常微分方程的求解。通過尋求恰當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，在適當(dāng)?shù)臈l件下獲得了這些方程可以轉(zhuǎn)化為伯努利方程求解的方法，給出了其通解公式。同時(shí)結(jié)合一些具體的常微分方程的模型，將這些理論結(jié)果進(jìn)行應(yīng)用，豐富了常微分方程的求解方法。關(guān)鍵詞:常微分方程;伯努利方程;變量替換Severalclassesoffirst-orderordinarydifferentialequationswhichcanbetransformedintoBern
2、oulliEquationsAbstract:Inthispaper,basedontheexistingliterature,weresearchthesolutionsofseveralclassesofordinarydifferentialequations.Byseekingsuitablevariablesubstitution,wetransformtheequationsintoBernoulliEquation,andobtaintheirgeneralsolutionformulas.Furth
3、ermore,wegivesomeconcreteordinarydifferentialequationmodelstoillustratetheeffectivenessofthetheoreticconclusionsinthispaper.Ourresultstoenrichthemethodsofsolvingordinarydifferentialequation.
Keywords:ordinarydifferentialequation;BernoulliEquation;variablesubst
4、itution目錄1引言12主要結(jié)果43應(yīng)用舉例10結(jié)束語19致謝20參考文獻(xiàn)21191引言數(shù)學(xué)分析中所研究的函數(shù)，是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過程中量與量之間的一種關(guān)系，但在大量的實(shí)際問題中遇到稍微復(fù)雜的一些運(yùn)動(dòng)過程時(shí)，反映運(yùn)動(dòng)規(guī)律的量與量之間的關(guān)系往往不能直接寫出來，卻能比較容易地建立這些變量和它們的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系式，這個(gè)關(guān)系式就是常微分方程[1]?，F(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，例如：自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性的研究等。這些問題都可化為
5、求常微分方程解的問題。這就使得研究微分方程的求解是具有實(shí)際意義的。對(duì)于Bernoulli(伯努利)方程的定義[2]如下：（其中，為的連續(xù)函數(shù)且）李鴻祥在《一階常微分方程的求解》[3]一文中給出了一階常微分方程的幾種解法，其中就包括了伯努利方程的幾種解法，而且對(duì)幾種解法進(jìn)行了分析、比較、概括。同時(shí)，徐士河也給出了黎卡提（Riccati）方程的定義[4]：(1)其中，，是的連續(xù)函數(shù)。江磊分析了幾類簡(jiǎn)單的黎卡提（Riccati）方程化為伯努利方程的形式[5]，并給出了一定的結(jié)論和總結(jié)。能有初等解法的微分方程是很有限的，像
6、上文這種形式上很簡(jiǎn)單的黎卡提（Riccati）方程一般就沒有初等解法，但是黎卡提(Riccati)方程在已知一特解的情況下可以轉(zhuǎn)化為伯努利方程求解。在此思想的啟發(fā)下，本文探求幾類比黎卡提(Riccati)方程更廣泛的一階微分方程的求解方法。由于日常生活的實(shí)際問題往往可以歸結(jié)為求解微分方程的數(shù)學(xué)問題，這就使得研究微分方程的求解成為研究微分方程的主要內(nèi)容之一。對(duì)于具有廣泛應(yīng)用背景的伯努利方程的求解一直是人們十分關(guān)心的課題，有關(guān)該問題的求解已經(jīng)有了許多研究成果[6～9]。本文的目的就是找出幾類可化為伯努利方程求解的一階微
7、分方程，結(jié)合用解伯努利方程的方法解出這些一階微分方程。再把結(jié)果應(yīng)用到日常實(shí)際生活當(dāng)中去，如自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過程穩(wěn)定性等19領(lǐng)域。對(duì)此我們首先查閱了大量的文獻(xiàn)，對(duì)許多數(shù)學(xué)工作者在這方面的研究成果進(jìn)行了總結(jié)[10，11]：王瑋通過研究和進(jìn)一步的探討，也給出了下列形式的伯努利方程[12](2)。(3)并獲得了其通解公式。馮變英給出了用常數(shù)變易法來解伯努利方程[13]，并獲得了幾種解法。劉志偉研究了上面幾位學(xué)者的關(guān)于伯努利方程的解法，經(jīng)過自己的探索和總結(jié)，并
8、給出了幾種關(guān)于這個(gè)方面的新解[14]胡勁松在《用“積分因子”求解Bernoulli方程》[15]一文中給出了伯努利方程求解的一些方法。同時(shí)，E．卡姆克也在《常微分方程手冊(cè)》[16]中闡述了相同的觀點(diǎn)，并得到了幾種伯努利方程的新解法。總結(jié)上述文獻(xiàn)我們得出有關(guān)伯努利方程求解結(jié)果列為下列命題：命題1.若，，則方程(4)可轉(zhuǎn)化為伯努利方程，從而可解。命題2.若,,則
