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《167;4對稱矩陣的對角化.ppt》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、§4對稱矩陣的對角化1定理：設(shè)l1,l2,…,lm是方陣A的特征值，p1,p2,…,pm依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，則p1,p2,…,pm線性無關(guān)．（P.120定理2）2可逆矩陣P，滿足P?1AP=L（對角陣）AP=PLApi=lipi(i=1,2,…,n)A的特征值對應(yīng)的特征向量其中?(A?liE)pi=0矩陣P的列向量組線性無關(guān)3定理：設(shè)l1,l2,…,lm是方陣A的特征值，p1,p2,…,pm依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，則p1,p2,…,pm線性無關(guān)．（P
2、.120定理2）定理：n階矩陣A和對角陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量．（P.123定理4）推論：如果A有n個不同的特征值，則A和對角陣相似．說明：當(dāng)A的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化．（P.118例6）4定理：設(shè)l1,l2,…,lm是方陣A的特征值，p1,p2,…,pm依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果l1,l2,…,lm各不相同，則p1,p2,…,pm線性無關(guān)．（P.120定理2）定理：設(shè)l1和l2是對稱陣A的特征值，p1,p2是對應(yīng)的特征向量，如果l1
3、≠l2，則p1,p2正交．（P.124定理6）證明：Ap1=l1p1，Ap2=l2p2，l1≠l2l1p1T=(l1p1)T=(Ap1)T=p1TAT=p1TA（A是對稱陣）l1p1Tp2=p1TAp2=p1T(l2p2)=l2p1Tp2(l1?l2)p1Tp2=0因為l1≠l2，則p1Tp2=0，即p1,p2正交．5定理：設(shè)A為n階對稱陣，則必有正交陣P，使得P?1AP=PTAP=L，其中L是以A的n個特征值為對角元的對角陣（不唯一）.（P.124定理7）定理：n階矩陣A和對角陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有n個
4、線性無關(guān)的特征向量．（P.123定理4）推論：如果A有n個不同的特征值，則A和對角陣相似．說明：當(dāng)A的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化．6定理：n階矩陣A和對角陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量．（P.123定理4）推論：如果A有n個不同的特征值，則A和對角陣相似．說明：當(dāng)A的特征方程有重根時，就不一定有n個線性無關(guān)的特征向量，從而不一定能對角化．推論：設(shè)A為n階對稱陣，l是A的特征方程的k重根，則矩陣A?lE的秩等于n?k，恰有k個線性無關(guān)的特征向量與特征
5、值l對應(yīng)．7例：設(shè)，求正交陣P，使P?1AP=L對角陣.解：因為A是對稱陣，所以A可以對角化．求得A的特征值l1=?2，l2=l3=1．8當(dāng)l1=?2時，解方程組(A+2E)x=0．，得基礎(chǔ)解系．當(dāng)l2=l3=1時，解方程組(A?E)x=0．，得．令，則.問題：這樣的解法對嗎？9當(dāng)l1=?2時，對應(yīng)的特征向量為；當(dāng)l2=l3=1時，對應(yīng)的特征向量為.顯然，必有x1⊥x2，x1⊥x3，但x2⊥x3未必成立．于是把x2,x3正交化：此時x1⊥h2，x1⊥h3，h2⊥h3．10單位化：當(dāng)l1=?2時，對應(yīng)的特征向量為；當(dāng)l2=l3
6、=1時，對應(yīng)的特征向量為.11當(dāng)l1=?2時，對應(yīng)的特征向量為；當(dāng)l2=l3=1時，對應(yīng)的特征向量為于是p1,p2,p3構(gòu)成正交陣從而．12把對稱陣A對角化的步驟為：求出A的所有各不相同的特征值l1,l2,…,ls，它們的重數(shù)依次為k1,k2,…,ks（k1+k2+…+ks=n）．對每個ki重特征值li，求方程組
7、A?liE
8、=0的基礎(chǔ)解系，得ki個線性無關(guān)的特征向量．把這ki個線性無關(guān)的特征向量正交化、單位化，得到ki個兩兩正交的單位特征向量．因為k1+k2+…+ks=n，總共可得n個兩兩正交的單位特征向量．這n個兩兩正交
9、的單位特征向量構(gòu)成正交陣P，便有P?1AP=L．L中對角元的排列次序應(yīng)于中列向量的排列次序相對應(yīng).13例：設(shè)，求An.分析：數(shù)學(xué)歸納法14定理：若n階矩陣A和B相似，則A和B的特征多項式相同,從而A和B的特征值也相同．推論：若n階矩陣A和B相似，則A的多項式j(luò)(A)和B的多項式j(luò)(B)相似．若n階矩陣A和n階對角陣L=diag(l1,l2,…,ln)相似，則從而通過計算j(L)可方便地計算j(A).若j(l)=
10、A?lE
11、，那么j(A)=O（零矩陣）.15例：設(shè)，求An.分析：數(shù)學(xué)歸納法因為A是對稱陣，所以A可以對角化．求得
12、A的特征值l1=1，l2=3．下面求滿足P?1AP=Λ的可逆矩陣P．16下面求滿足P?1AP=Λ的可逆矩陣P．當(dāng)l1=1時，解方程組(A?E)x=0．，得基礎(chǔ)解系．當(dāng)l2=3時，解方程組(A?3E)x=0．，得基礎(chǔ)解系．問題：是否需要單位化？于是Ap1=p1，Ap2=3p2，即．若，則．1
