《全等三角形》常見的輔助線作法_例題精講.doc

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1、..《全等三角形》問題中常見的輔助線的作法【三角形輔助線做法】圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線?！境Ｒ娸o助線的作法有以下幾種】1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。2、遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以

2、自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答。一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等（一）例題講

3、解例1、（“希望杯”試題）已知，如圖中，，，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關(guān)鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中。ECABD解:延長(zhǎng)AD到E，使，連接BE又∵，∴，∵(三角形三邊關(guān)系定理)即∴經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：見中線，延長(zhǎng)加倍。例2、如圖，中，E、F分別在AB、AC上，，D是中點(diǎn)，試比較與EF的大小。證明：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使，連接BG、EGGFECABD∵，，∴∴.下載可編輯...∵∴在中，∵，∴例3、如圖，中，，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分.證明方法一：利用相似論證。證明：∵ECABD∴∵E是DC中點(diǎn)∴，∴∽∴∵∴，∴∴即AD平分證明方法二：利用全等論

4、證。證明：延長(zhǎng)AE到M，使，連結(jié)DM易證MECABD∴，又∵∴，又∵，∴∴∴即AD平分（二）實(shí)際應(yīng)用：1、（2009崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)。探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系。（1）如圖1當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；（2）將圖1中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（）后，如圖2所示，（1）問中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由。圖1MNCABDNECABDM圖2.下載可編輯...解：（1），；證明：延長(zhǎng)AM到G，使，連BG，則ABGC是平行四邊形G

5、CHABDMNE∴，又∵∴再證：∴，延長(zhǎng)MN交DE于H∵∴∴（2）結(jié)論仍然成立．證明：如圖，延長(zhǎng)CA至F，使，F(xiàn)A交DE于點(diǎn)P，并連接BF∵，∴FCPABDMNE∵在和中∴（SAS）∴，∴∴又∵，∴，且∴，二、截長(zhǎng)補(bǔ)短（一）例題講解例1、如圖，中，，AD平分，且，求證：證明：過D作，垂足為MMCABD∴又∵，.下載可編輯...∴∴∵∴∵AD平分∴在和中，，∴∴即:例2、如圖，，EA，EB分別平分，，CD過點(diǎn)E，求證：證明：在AB上截取，連接EF在和中FEDABC∴∴∴即在和中∴（ASA）∴∴例3、如圖，已知在內(nèi)，，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分

6、線。求證：證明：延長(zhǎng)AB到D，使，連接PD．則∵AP，BQ分別是，的角平分線，，∴，，45232DQPCAB1∴又∴在與中，，.下載可編輯...∴（AAS）∴即∴例4、如圖，在四邊形ABCD中，，，BD平分.求證：解：過點(diǎn)D作于E，過點(diǎn)D作交BA的延長(zhǎng)線于F∵BD平分EFDCAB∴，在和中∴（HL）∴∴例5、如圖，在中，，，P為AD上任意一點(diǎn)。求證：EDAPCB證明：如圖，在AB上截取AE，使，連接PE在和中∴（SAS）∴在中，，即（二）實(shí)際應(yīng)用如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，，且，判斷與的關(guān)系并證明你的結(jié)論。分析：此題連接AC，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等

7、邊三角形的問題，然后利用已知條件和等邊三角形的性質(zhì)通過證明三角形全等解決它們的問題。解：有連接AC，過E作并AC于F點(diǎn)則可證為等邊三角形即，DEACBF∴又∵，.下載可編輯...DEACB∴又∵∴在與中，，∴∴∴點(diǎn)評(píng)：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉(zhuǎn)化成等邊三角形的問題，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決。三、平移變換（一）例題講解FNMDEACB例1、AD為的角平分線，直線于A.E為MN上一點(diǎn)，周長(zhǎng)記為，周長(zhǎng)記為.求證：.證明：延長(zhǎng)BA到F，使,連接EF∵AD為的角平分線∴∵∴∵，∴∴∵∴∴BC+BE+CE>AB+AC+BC∴的