5-2(1) - 副本.ppt

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1、尋找§2方陣的特征值與特征向量本章中心：使二次型轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換具有保距性和保角性保持形狀不變的可逆線性變換正交變換本章結(jié)構(gòu)：二次型的定義及矩陣表示正交向量組特征值與特征向量方陣對(duì)角化的充要條件對(duì)稱方陣對(duì)角化二次型化標(biāo)準(zhǔn)型本節(jié)重點(diǎn)：(1)矩陣的特征值與特征向量概念(2)矩陣的特征值與特征向量的計(jì)算(3)矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)一、特征值與特征向量定義：定義1設(shè)A是n階方陣，和n維非零列向量p稱為A的對(duì)于特征值使得非零向量p如果數(shù)的特征向量.那么數(shù)稱為方陣A的特征值，二、特征值判定和計(jì)算：n維非零列向量p,st.n

2、維非零列向量p,st.有非零解p,特征多項(xiàng)式定義：定義2稱為n階矩陣A的特征方程；稱為n階矩陣A的特征多項(xiàng)式.求n階特征值和特征向量的方法：1.求特征多項(xiàng)式就是n階矩陣A的特征值；2.求特征方程的根的非零解，3.求解齊次線性方程組就是n階矩陣A的特征向量.例1：求矩陣解（1）A的特征多項(xiàng)式（2）A的特征值為的特征值與特征向量。（1）特征多項(xiàng)式（2）特征值為（3）相應(yīng)于特征值相應(yīng)于的特征向量為的特征向量應(yīng)滿足例1：求矩陣的特征值與特征向量。（4）相應(yīng)于特征值相應(yīng)于的特征向量為的特征向量應(yīng)滿足例1：求矩陣的特征值與特征向量。

3、相應(yīng)于的特征向量為相應(yīng)于的特征向量為結(jié)果分析：線性無(wú)關(guān)正交例1：求矩陣的特征值與特征向量。求矩陣的特征值與特征向量。例2：解得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系得特征向量得特征向量結(jié)果分析：是線性無(wú)關(guān)向量組不是正交向量組求矩陣的特征值與特征向量。例2：例3求矩陣的特征值與特征向量。解得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系得特征向量得特征向量結(jié)果分析：是線性無(wú)關(guān)向量組，不是正交向量組例3求矩陣的特征值與特征向量。三、特征向量性質(zhì)：定理1一個(gè)特征向量不可能對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的特征值.定理2每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)一系列特征向量.證明：不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)定理3那么

4、是分別與之對(duì)應(yīng)的特征向量,線性無(wú)關(guān).是方陣A的不同特征值，證明：定理4是對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量組,是對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量組,是對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量組,那么線性無(wú)關(guān).是方陣A的不同特征值，證明：數(shù)學(xué)歸納法時(shí)結(jié)論自然正確時(shí)（1）式兩端同時(shí)左乘A，得（1）式兩端同時(shí)左乘λ1得代入（1）得證線性無(wú)關(guān)假設(shè)對(duì)于個(gè)不同特征值結(jié)論正確.下面考慮m個(gè)不同特征值：由假設(shè)，知代回（2）得即得證m時(shí)結(jié)論正確，命題得證.四、特征值性質(zhì)：定理5則（1）是的特征值.(2)的特征值.(4)的特征值.(3)的特征值.定理6設(shè)n個(gè)特征值為，則有（

5、2）（1）例4思考題1：思考題2：