[考研數(shù)學(xué)]北京航天航空大學(xué)線性代數(shù) 3-3.ppt

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1、第三節(jié)向量組線性相關(guān)性的進(jìn)一步討論引言n階方陣A的秩R(A)=n?

2、A

3、≠0.這時(shí)稱矩陣A是滿秩矩陣.如果把此矩陣A看作是由n個(gè)列向量構(gòu)成的,這n個(gè)向量是線性無關(guān)的.上節(jié)討論向量組的線性相關(guān)性時(shí),我們知道當(dāng)

4、A

5、=0時(shí),向量組線性相關(guān).此時(shí)矩陣的秩

6、中至少有一個(gè)是其余m–1個(gè)行向量的線性組合.不妨設(shè)αm是α1,α2,…,αm-1的線性組合，即用–k1,–k2,…,–km-1分別乘以A的第一行，第二行,…,第m-1行，然后都加到第m行上去，得到新矩陣B，即于是R(B)

7、2,…,kr+1，使得當(dāng)R(A)≥1時(shí)寫成分量形式，即方程組：或即要證明上述方程組有非零解:k1,k2,…,kr+1.考慮r+1階行列式：顯然，當(dāng)t≤r時(shí)，因Dt中有兩列相同，所以Dt=0，當(dāng)t>r時(shí)(假如存在),則Dt是A的r+1階子式，由R(A)=r知Dt=0.這就是說，對(duì)于t=1,2,…,n，總有Dt=0,于是將Dt最后一列展開得其中A1,A2,…,Ar,D分別是a1t,a2t,…,ar+1t的在Dt中的代數(shù)余子式，它們均與t無關(guān).又因?yàn)镈≠0,這樣，就找到了齊次方程組的一組不全為零的解：所以α1,α2,…,αr+1線性相關(guān)，從而α1,α2,…,αm線性相關(guān)。推論1m?n矩陣A

8、的m個(gè)行向量線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m.證推論1為定理3.1的逆否命題.定理對(duì)列的結(jié)論同樣成立:m?n矩陣A的n個(gè)列向量線性相關(guān)?R(A)

9、A

10、≠0.推論4m?n矩陣A的秩R(A)=r的充分必要條件是A中存在r個(gè)行(列)

11、向量線性無關(guān),而任意r＋1個(gè)行(列)向量線性相關(guān).R(A)=r?A中至少有一個(gè)r階子式D不為零，而所有r＋1階子式均為零.于是D所在的r個(gè)行(列)所組成的矩陣的秩為r，由推論1得到這r個(gè)行(列)向量是線性無關(guān)的.由任意的r＋1階子式所在的r＋1個(gè)行(列)所組成的矩陣的秩小于r＋1，由定理3.1得任意r＋1個(gè)行(列)向量線性相關(guān).證明