實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化.ppt

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1、§5.4實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化除第三章第二節(jié)介紹的概念和性質(zhì)之外,共軛矩陣還有以下性質(zhì):(7)(8)當(dāng)A為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí),(9)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.若則若復(fù)矩陣A可逆,實(shí)對(duì)稱矩陣是一類很重要的可對(duì)角化的矩陣,它的特征值和特征向量具有下列性質(zhì):性質(zhì)1實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù).證明:設(shè)是A的任一特征值,即存在非零向量P使要證是實(shí)數(shù),只須證明即可.由得因所以故當(dāng)特征值為實(shí)數(shù)時(shí),齊次線性方程組是實(shí)系數(shù)線性方程組,基礎(chǔ)解系,性質(zhì)2實(shí)對(duì)稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量是正交的.知必有實(shí)向量由所以對(duì)應(yīng)的特征向量可取實(shí)向量.證設(shè)是A的

2、兩個(gè)不同的特征值,分別是屬于的特征向量(均為實(shí)向量),即有則因此,而故有即正交.性質(zhì)3設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣,是A的特征方程的r重根,從而對(duì)應(yīng)特征值恰有r個(gè)線行無(wú)關(guān)的特征向量.證明略.一般n階矩陣未必能與對(duì)角矩陣相似,而實(shí)對(duì)稱矩陣則一定能與對(duì)角矩陣相似.的秩則方陣定理6設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在正交矩陣P使得其中為A的n個(gè)特征值。證設(shè)A的互不相同的特征值為它們的重?cái)?shù)依次為根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)3知，恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)特征向量，對(duì)應(yīng)于特征值把它們標(biāo)準(zhǔn)正交化，特征向量組，特征向量共有n個(gè)，并有其中為A的n個(gè)特征值。個(gè)單位正交的

3、就可得到知，由這樣的特征值的特征向量是正交的，向量?jī)蓛烧唬运鼈優(yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣P，又由性質(zhì)2知，A的屬于不同故這n個(gè)單位特征由定理6可知，實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求正交矩陣P的問(wèn)題，計(jì)算P的步驟如下：（1）（2）求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，進(jìn)行正交化和單位化，得到A對(duì)于的一組標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量，的個(gè)數(shù)恰好是作為A的特征值的重?cái)?shù)；求出實(shí)對(duì)稱矩陣A的全部特征值對(duì)于各個(gè)不同的特征值對(duì)基礎(chǔ)解系這個(gè)向量組所含向量（3）量構(gòu)成一組的標(biāo)準(zhǔn)正交基（4）則P為正交矩陣且使得為對(duì)角陣，對(duì)角線上的元素為相應(yīng)特征向量的特征值

4、。的所有標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向?qū)⑷±?3設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣求正交陣解得特征值對(duì)于由即解得基礎(chǔ)解系為單位化得單位特征向量對(duì)于由即解得基礎(chǔ)解系為因?yàn)樵摶A(chǔ)解系中的兩個(gè)向量恰好正交，只要單位化即得兩個(gè)正交的單位特征向量：于是可得正教矩陣使得注意：在此例中對(duì)應(yīng)于特征值若求得方程組的基礎(chǔ)解系不正交，則須把它們標(biāo)準(zhǔn)正交化，例如為即取再單位化得取可以驗(yàn)證，仍有此例說(shuō)明所求正交矩陣不唯一。