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《利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線.doc》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。
1、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和公切線一.求切線方程【例1】.已知曲線f(x)=x3-2x2+1.(1)求在點(diǎn)P（1,0）處的切線l1的方程；(2)求過點(diǎn)Q（2,1）與已知曲線f(x)相切的直線l2的方程.提醒：注意是在某個(gè)點(diǎn)處還是過某個(gè)點(diǎn)！二.有關(guān)切線的條數(shù)【例2】．（2014?北京）已知函數(shù)f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在區(qū)間[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切，求t的取值范圍；（Ⅲ）問過點(diǎn)A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分別存在幾條直線與曲線y=f（x）相切？（只需寫出結(jié)論）【解答】解：（Ⅰ
2、）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在區(qū)間[﹣2，1]上的最大值為．（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（1，t）的直線與曲線y=f（x）相切于點(diǎn)（x0，y0），則y0=2﹣3x0，且切線斜率為k=6﹣3，∴切線方程為y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0），即4﹣6+t+3=0，設(shè)g（x）=4x3﹣6x2+t+3，則“過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切”，等價(jià)于“g（x）有3個(gè)不同的零點(diǎn)”．∵g′（x）=12x
3、2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（0）=t+3是g（x）的極大值，g（1）=t+1是g（x）的極小值．∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，∴當(dāng)過點(diǎn)過點(diǎn)P（1，t）存在3條直線與曲線y=f（x）相切時(shí)，t的取值范圍是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）過點(diǎn)A（﹣1，2）存在3條直線與曲線y=f（x）相切；過點(diǎn)B（2，10）存在2條直線與曲線y=f（x）相切；過點(diǎn)C（0，2）存在1條直線與曲線y=f（x）相切．【例3】．已知函數(shù)f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于x的不等式：1+ef（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）
4、（x≥1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，記h（x）=f（x）﹣g（x），過點(diǎn)（1，﹣1）是否存在函數(shù)y=h（x）圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（I）當(dāng)a=3時(shí)，原不等式可化為：1+eln3x+＞0；等價(jià)于，解得x，故解集為（Ⅱ）∵對(duì)x≥1恒成立，所以，令，可得h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，故h（x）在x=1處取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，故a的取值范圍為：[1，+∞）（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)切點(diǎn)T（x0，），∴切線方程：y+1=，將點(diǎn)T坐標(biāo)代入得：即，①設(shè)g（x）=，則∵x＞0
5、，∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，故g（x）極大=g（1）=1＞0，故g（x）極，小=g（2）=ln2+＞0，．又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，由g（x）在其定義域上的單調(diào)性知：g（x）=0僅在（，1）內(nèi)有且僅有一根，方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．【作業(yè)1】．（2017?莆田一模）已知函數(shù)f（x）=2x3﹣3x+1，g（x）=kx+1﹣lnx．（1）設(shè)函數(shù)，當(dāng)k＜0時(shí)，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若過點(diǎn)P（a，﹣4）恰有三條直線與曲線y=f（x）相切，求a的取值范圍．三.切
6、線與切線之間的關(guān)系【例4】．（2018?綿陽(yáng)模擬）已知a，b，c∈R，且滿足b2+c2=1，如果存在兩條互相垂直的直線與函數(shù)f（x）=ax+bcosx+csinx的圖象都相切，則a+c的取值范圍是.，∵b2+c2=1，∴，∴，故a+c∈[﹣，]，【例5】.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）設(shè)，求函數(shù)t（x）在[m，m+1]（m＞0）上的最小值；（Ⅱ）過原點(diǎn)分別作曲線y=f（x）與y=g（x）的切線l1，l2，已知兩切線的斜率互為倒數(shù)，求證：a=0或．【解答】（Ⅰ）解：，令t'（x）＞0得x＞1，令t'（
7、x）＜0得x＜1，所以，函數(shù)t（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，∴當(dāng)m≥1時(shí)，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函數(shù)，∴當(dāng)0＜m＜1時(shí)，函數(shù)t（x）在[m，1]上是減函數(shù)，在[1，m+1]上是增函數(shù)，∴t（x）min=t（1）=e．（Ⅱ）設(shè)l2的方程為y=k2x，切點(diǎn)為（x2，y2），則，∴x2=1，y2=e∴k2=e．由題意知，切線l1的斜率，∴切線l1的方程為，設(shè)l1與曲線y=f（x）的切點(diǎn)為（x1，y1），∴，∴，，又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，令，則，∴m（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，
8、+∞）上單調(diào)遞增，若x1∈（0，1），∵，，∴，而，在單調(diào)遞減，∴．若x1∈（1
