現(xiàn) 代 控 制 理 論第4章修改完成.ppt

《現(xiàn) 代 控 制 理 論第4章修改完成.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、第四章李雅普諾夫穩(wěn)定性分析1892年，李雅普諾夫，在《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》中系統(tǒng)的建立了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性理論，給出了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的精確定義。李雅普諾夫第二法(直接法)：對(duì)于一個(gè)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，如果隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其貯存的能量(能量函數(shù))隨著時(shí)間的增長(zhǎng)而連續(xù)地減小，即能量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)()為負(fù)，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值，則此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。李雅普諾夫第二法可歸結(jié)為：在不直接求微分方程解的前提下，通過(guò)判斷“廣義能量函數(shù)”―李雅普諾夫函數(shù)―及其導(dǎo)數(shù)的號(hào)性，給出系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的信息。應(yīng)用李氏穩(wěn)定理論的關(guān)鍵在于能否找到

2、一個(gè)合適的李氏函數(shù)，經(jīng)驗(yàn)表明，在很多情況下，可取為二次型。李氏穩(wěn)定理論既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)。4-1基本定義平衡狀態(tài)對(duì)于系統(tǒng)對(duì)所有t，存在：則稱Ｘe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。對(duì)于線性定常系統(tǒng),(討論穩(wěn)定性無(wú)關(guān)輸入u。)當(dāng)Ａ為非奇異時(shí)，系統(tǒng)只存在一個(gè)平衡狀態(tài)，即Ｘ＝0是唯一的平衡點(diǎn)。當(dāng)Ａ為奇異時(shí)，則系統(tǒng)存在無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)，對(duì)于非線性系統(tǒng)，可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。任何平衡狀態(tài)，總可通過(guò)坐標(biāo)變換，將其移至坐標(biāo)原點(diǎn)，即f(0,t)=0。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為Ｘe，f(Xe,t)=0,在t=t0

3、時(shí)，有擾動(dòng)使系統(tǒng)的初態(tài)為Ｘ0,產(chǎn)生初始偏差Ｘ0-Xe,則t≥t0后,系統(tǒng)的狀態(tài)從Ｘ0開(kāi)始發(fā)生變化。Ｅuclid范數(shù)：表示初始偏差都在以δ為半徑，以平衡狀態(tài)Ｘe為中心的閉球域S(δ)中，同樣，表示平衡狀態(tài)偏差都在以ε為半徑，以平衡狀態(tài)Xe為中心的閉球域S(ε)中。如果對(duì)球域S(ε)，存在著一個(gè)球域S(δ)使當(dāng)t→∞時(shí)，從S(δ)出發(fā)的軌跡不離開(kāi)S(ε)，即有:則稱平衡狀態(tài)Ｘe為在李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的(圖a)如果平衡狀態(tài)Ｘe在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的，又當(dāng)t→∞時(shí)，從Ｓ(δ)出發(fā)的軌跡都不離開(kāi)Ｓ(ε)，而且收斂于

4、Xe，即有：,則稱平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的。(圖b)如果對(duì)狀態(tài)空間中的任意點(diǎn)，不管初始偏差有多大，由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定特性，則稱平衡狀態(tài)Ｘe為大范圍漸近穩(wěn)定的。大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間中，只有一個(gè)平衡狀態(tài)。如果線性定常系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，由于其有唯一解，因此它必定也是大范圍漸近穩(wěn)定的。當(dāng)t→∞時(shí)，在球域Ｓ(δ)的某個(gè)狀態(tài)Ｘ0出發(fā)的軌跡最終超越球域Ｓ(ε)，則稱平衡狀態(tài)Ｘe為不穩(wěn)定的。(圖c)純量函數(shù)號(hào)性廣義能量函數(shù)通常是一個(gè)二次型純量函數(shù)。當(dāng)且僅當(dāng)Ｘ＝0時(shí)，有＝0,對(duì)任意非零Ｘ，恒有>0

5、則稱V(x)為正定。當(dāng)Ｘ＝0時(shí)，有＝0；對(duì)任意非零X，有≥0，則稱為正半定(或稱準(zhǔn)正定)。當(dāng)且僅當(dāng)X＝0時(shí)，有＝0；對(duì)任意非零X，恒有<0，負(fù)定。當(dāng)X＝0時(shí)，有＝0；對(duì)任意非零X，有≤0，則負(fù)半定(準(zhǔn)負(fù)定)。如果無(wú)論取多么小的零點(diǎn)的鄰域，可為負(fù)值，也可為負(fù)值，則稱不定。二次型V(x)正定性的Sylvester準(zhǔn)則李雅普諾夫穩(wěn)定性理論中的“廣義能量函數(shù)”V(x)通常為二次型：矩陣P為實(shí)對(duì)稱矩陣。V(x)的正定性可由Sylvester準(zhǔn)則來(lái)確定：二次型V(x)為正定的充分必要條件是矩陣P的所有主子行列式為正，即：若

6、P是奇異矩陣，并且它的所有主子行列式為非負(fù)，則為正半定的。二次型V(x)為負(fù)定的充分必要條件是矩陣P的所有主子行列式滿足：Δi<0(i為奇數(shù))；Δi>0(i為偶數(shù))(i=1,2,…,n)李雅普諾夫函數(shù)——廣義能量函數(shù)的物理意義圖示系統(tǒng)，質(zhì)量M，彈簧剛度K，阻尼系數(shù)B，系統(tǒng)相對(duì)于平衡狀態(tài)的位移為y,速度取狀態(tài)變量x1＝y(tǒng),,則有：表示系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng),為一齊次方程。系統(tǒng)在任一個(gè)瞬時(shí)的具有的總能量為：彈簧的勢(shì)能：,質(zhì)量的動(dòng)能:即：顯然V(x)=V(x1,x2)是正定的，且V(0,0)=0。而能量變化率:顯然，無(wú)論x1

7、,x2取何值,總是負(fù)定的(或負(fù)半定)。若B＝0,則，無(wú)能量損失，當(dāng)初始位置偏離平衡位置足夠小時(shí)，系統(tǒng)將在平衡點(diǎn)足夠小的范圍內(nèi)作諧振,系統(tǒng)相對(duì)于平衡位置是穩(wěn)定的(盡管是不斷作諧振)。若B≠0,即B>0。此時(shí)，系統(tǒng)沿著其運(yùn)動(dòng)軌跡有，阻尼器不斷消耗系統(tǒng)能量，總能量V(x)不斷減小，直至為零，物體趨向平衡位置，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的?？梢?jiàn)李雅普諾夫函數(shù)就是力學(xué)系統(tǒng)的能量函數(shù)。但并非所有的系統(tǒng)都具有能量概念，如經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，生物系統(tǒng)和社會(huì)學(xué)系統(tǒng)等。因此有必要將上述能量函數(shù)的概念推廣至系統(tǒng)的所謂李雅普諾夫函數(shù)——廣義能量函數(shù)——的概

8、念上來(lái)。4-2李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性分析基本定理［定理一］系統(tǒng)狀態(tài)方程：，且f(0,t)=0.如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)的純量函數(shù)存在，且滿足以下條件：1．V(X,t)是正定的；2．是負(fù)定的。則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著‖X‖→∞時(shí)，有V(X,t)→∞，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。例4-1系統(tǒng)方程為：試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性解：顯然，原點(diǎn)(0,0)為系統(tǒng)唯一的一個(gè)平衡