高數(shù)—隱函數(shù)微分法.ppt

《高數(shù)—隱函數(shù)微分法.ppt》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫(kù)。

1、一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)§9.6隱函數(shù)微分法1本節(jié)討論:1)方程在什么條件下才能確定隱函數(shù).例如,方程當(dāng)C<0時(shí),能確定隱函數(shù);當(dāng)C>0時(shí),不能確定隱函數(shù);2)在方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性、可微性及求導(dǎo)方法問(wèn)題.2一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1.設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù)y=f(x),并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：①具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足②③滿足條件導(dǎo)數(shù)3兩邊對(duì)x求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則4若F(x,y)的

2、二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),二階導(dǎo)數(shù):則還有5例1.驗(yàn)證方程在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解:令連續(xù),由定理1可知,①導(dǎo)的隱函數(shù)則②③在x=0的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求67兩邊對(duì)x求導(dǎo)兩邊再對(duì)x求導(dǎo)令x=0,注意此時(shí)導(dǎo)數(shù)的另一求法—利用隱函數(shù)求導(dǎo)8定理2.若函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù)z=f(x,y),定理證明從略,僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足①在點(diǎn)滿足:②③某一鄰域內(nèi)可唯一確9兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)同樣可得則10例2.設(shè)解法1利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì)x求導(dǎo)11解法2利用公式設(shè)則兩邊對(duì)x求

3、偏導(dǎo)12例3.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法1利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故13對(duì)方程兩邊求微分:解法2微分法.14二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由F、G的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G的雅可比(Jacobi)行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例,即15定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組③的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式:①在點(diǎn)②的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；16定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：17有隱函數(shù)組則兩邊對(duì)x求導(dǎo)得設(shè)方程組在點(diǎn)P的

4、某鄰域內(nèi)故得系數(shù)行列式18同樣可得19例4.設(shè)解:方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí):求答案:由題設(shè)故有20例5.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(u,v)的某一1)證明函數(shù)組(x,y)的某一鄰域內(nèi)2)求解:1)令對(duì)x,y的偏導(dǎo)數(shù).在與點(diǎn)(u,v)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)21①式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得則有由定理3可知結(jié)論1)成立.2)求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).①②22從方程組②解得同理,①式兩邊對(duì)y求導(dǎo),可得23例5的應(yīng)用:計(jì)算極坐標(biāo)變換的反變換的導(dǎo)數(shù).同樣有所以由于24內(nèi)容小結(jié)1.隱函數(shù)(組)存在定理2.隱

5、函數(shù)(組)求導(dǎo)方法方法1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算;方法2.利用微分形式不變性;方法3.代公式思考與練習(xí)設(shè)求25提示:26解法2.利用全微分形式不變性同時(shí)求出各偏導(dǎo)數(shù).由dy,dz的系數(shù)即可得27備用題分別由下列兩式確定:又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),1.設(shè)解:兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),得(2001考研)解得因此282.設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),求解法1分別在各方程兩端對(duì)x求導(dǎo),得(99考研)29解法2微分法.對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去可得30解:二元線性代數(shù)方程組解的公式31