定態(tài)問(wèn)題定態(tài)微擾論.ppt

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1、近似方法第七章Approximationmethod相關(guān)概念回顧完備集在量子力學(xué)中，按態(tài)疊加原理，任何一個(gè)量子態(tài)，可以看成抽象的Hilbert空間的一個(gè)“矢量”，而體系的任何一組力學(xué)量完全集F的共同本征態(tài)構(gòu)成此態(tài)空間的一組正交歸一完備的基矢，即。以為基矢的表象，成為F表象。體系任何一個(gè)量子態(tài)可以展開(kāi)為其中。相關(guān)概念回顧二.量子力學(xué)的矩陣形式設(shè)力學(xué)量完全集F的本征值取離散值，以它們的本征態(tài)為基矢的表象中，力學(xué)量L表示成矩陣的形式其中。而任一量子態(tài)則表示成列矢其中一.引言二.定態(tài)非簡(jiǎn)并微擾方法三.定態(tài)簡(jiǎn)并微擾方法*四.變分法本章主要內(nèi)容第一節(jié)引言前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使

2、用這些理論解決了一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。如：一維無(wú)限深勢(shì)阱問(wèn)題；線性諧振子問(wèn)題；勢(shì)壘貫穿問(wèn)題；氫原子問(wèn)題。這些問(wèn)題都給出了問(wèn)題的精確解析解。然而，對(duì)于大量的實(shí)際物理問(wèn)題，薛定諤方程能有精確解的情況很少。通常體系的哈密頓量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，量子力學(xué)求問(wèn)題近似解的方法(簡(jiǎn)稱近似方法)就顯得特別重要。一、近似方法的重要性第一節(jié)引言近似方法通常是從簡(jiǎn)單問(wèn)題的精確解(解析解)出發(fā)，來(lái)求較復(fù)雜問(wèn)題的近似(解析)解。二、近似方法的出發(fā)點(diǎn)體系哈密頓量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問(wèn)題定態(tài)微擾論；變分法。2.體系哈密頓量顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問(wèn)題與時(shí)間t有關(guān)的微

3、擾理論；常微擾。三、近似解問(wèn)題分為兩類第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論本節(jié)主要內(nèi)容:微擾體系方程態(tài)矢和能量的一級(jí)修正能量的二階修正微擾理論適用條件討論實(shí)例第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論一.微擾體系方程微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運(yùn)行的天體物理學(xué)中，計(jì)算行星運(yùn)行軌道時(shí)，就是使用微擾方法。計(jì)算中需要考慮其他行星影響的二級(jí)效應(yīng)。例如，地球受萬(wàn)有引力作用繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計(jì)算所使用的方法是：首先把太陽(yáng)和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個(gè)軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系

4、。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系哈密頓量不顯含時(shí)間，而且可分為兩部分：所描寫(xiě)的體系是可以精確求解的，其本征值,本征矢滿足如下本征方程：另一部分是很小的(很小的物理意義將在下面討論)可以看作加于上的微小擾動(dòng)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是如何求解微擾后總哈密頓量的本征值和本征矢，即如何求解整個(gè)體系的薛定諤方程：第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論不難看出,當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，引入微擾，使體系能級(jí)發(fā)生移動(dòng)，狀態(tài)由，能量由，為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫(xiě)為:其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。第二

5、節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論因?yàn)槎寂c微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開(kāi)成λ的冪級(jí)數(shù)：其中分別是能量的零級(jí)近似,能量的一級(jí)修正和二級(jí)修正等;而分別是狀態(tài)矢量零級(jí)近似，一級(jí)修正和二級(jí)修正等。代入薛定諤方程得：第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論上式對(duì)任意的λ都成立，故λ的同次冪系數(shù)相等.乘開(kāi)可得：整理后可得：——H(0)的本征方程——滿足的方程——滿足的方程第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論二.態(tài)矢和能量的一級(jí)修正現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢和本征能量來(lái)導(dǎo)出擾動(dòng)后的態(tài)矢和能量的表達(dá)式。1.能量一級(jí)修正用左乘上式,并作空間積分得注意到第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論能量一級(jí)修正能量的一級(jí)修正等于微擾哈密頓量

6、在零級(jí)近似波函數(shù)中的平均值.根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，的本征矢是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開(kāi)，也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級(jí)修正展開(kāi)為：2.波函數(shù)的一級(jí)修正其中準(zhǔn)確到一階微擾的體系能量：第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論若滿足方程：則也滿足方程：b為任意數(shù)所以可以選擇一階修正的體系波函數(shù)為：第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論左乘(m≠n)并積分：(m≠n)第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論若滿足方程：則也滿足方程：b為任意數(shù)所以可以選擇一階修正的體系波函數(shù)為：第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論3.能量的二級(jí)修正用左乘上式,并作空間積分得其中——能量二級(jí)修正第二節(jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論準(zhǔn)確到二階微擾的體系能量：

7、準(zhǔn)確到一階微擾的體系波函數(shù)：欲使二式有意義，則要求二級(jí)數(shù)收斂。由于不知道級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，無(wú)法判斷級(jí)數(shù)的收斂性，我們只能要求級(jí)數(shù)已知項(xiàng)中，后項(xiàng)遠(yuǎn)小于前項(xiàng)。由此我們得到微擾理論適用條件是：三.微擾適用條件微擾適用條件表明：(2)要大，即能級(jí)間距要寬。例如：在庫(kù)侖場(chǎng)中，體系能量（能級(jí)）與量子數(shù)n2成反比，即由上式可見(jiàn)，當(dāng)n大時(shí)，能級(jí)間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級(jí)(n大)的修正，而只適用于計(jì)算低能級(jí)(n小)的修正。(1)要小，即微擾矩陣元要?。坏诙?jié)非簡(jiǎn)并定態(tài)微擾理論2.展開(kāi)系數(shù)表明第k個(gè)未擾動(dòng)態(tài)矢對(duì)第