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1、東南大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)習(xí)題解析第五章2010年國家級(jí)精品課程主講:關(guān)秀翠教學(xué)內(nèi)容和學(xué)時(shí)分配第五章特征值與特征向量教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)數(shù)§5.1矩陣的特征值與特征向量2§5.2相似矩陣2§5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化2§5.5用Matlab解題1特征值和特征向量
2、?E–A
3、=
4、?E–(P?1AP)
5、??i=tr(A),??i=
6、A
7、A可逆?A的特征值≠0,1/?是A?1的特征值;
8、A
9、/?是A*的特征值.
10、?E–A
11、=
12、?E–AT
13、A?=???f(A)?=f(?)?對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量線性無關(guān)AT=A???R,對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交性質(zhì)應(yīng)用計(jì)算定義相似對(duì)角化用A=P?P?1計(jì)算f
14、(A)=Pf(?)P?1化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
15、?E–A
16、=0(?E–A)x=0A?=??其中???P–1AP=diag(?1,…,?n)?A有n個(gè)l.i.的特征向量A(復(fù))???r(?iE?A)=n?niA有n個(gè)不同特征值?A??A的化零多項(xiàng)式的根可能是但未必都是A的特征值.§5.3實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值均為實(shí)數(shù).實(shí)對(duì)稱陣對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交.Th5.7任意n階實(shí)對(duì)稱陣總可以正交相似對(duì)角化,存在正交陣Q,使得Q–1AQ=?=diag(?1,?2,…,?n),其中Q=(q1,q2,…,qn)的列向量組是A的對(duì)應(yīng)于特征值?1,?2,…,?n的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組.正
17、交特征向量1.l.i.特征向量再由Schmidt正交化法正交2.由1個(gè)特量及正交方程組解其他正交特量實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：Q–1AQ=QTAQ=??A=Q?QT=Q?Q–1P–1AP=??A=P?P–1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化,但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化,但不需求逆??f,f(A)=Qf(?)QT??關(guān)于相似對(duì)角化與正交相似對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)角化的反問題：Q–1AQ=QTAQ=??A=Q?QT=Q?Q–1不是任一個(gè)方陣A都可以相似對(duì)角化，只有當(dāng)A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量時(shí)才可相似對(duì)角化；實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交相似對(duì)角化，也可以相似對(duì)角化.若實(shí)方陣A可以正交相似對(duì)角化，則A必是實(shí)對(duì)稱矩陣.AT=(Q?QT
18、)T=Q?TQT=Q?QT=A一般方陣若能相似對(duì)角化，不一定能正交相似對(duì)角化.只有要求正交相似對(duì)角化時(shí)才需正交化標(biāo)準(zhǔn)化.P–1AP=??A=P?P–1無需正交標(biāo)準(zhǔn)化,但需求逆正交標(biāo)準(zhǔn)化,但不需求逆??f,f(A)=Qf(?)QT???等價(jià)關(guān)系匯總等價(jià)關(guān)系定義矩陣定義等價(jià)類代表不變量Rn?nRm?n相抵相似正交相似Rn?n,實(shí)對(duì)稱相抵標(biāo)準(zhǔn)形為初等陣?i為特征值①秩②特征值,跡,行列式①②①秩若A可相似對(duì)角化第五章特征值與特征向量證明：5.設(shè)n階方陣A的任一行中n個(gè)元素之和都是?0,證明：?0是A的一個(gè)特征值,并求出其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量.所以?0是A的一個(gè)特征值.對(duì)應(yīng)?0的一個(gè)特征向量為設(shè)
19、n階方陣A可逆，且A每行元素之和都等于a，證明：a?0.證明:?a?0.A每行元素之和都等于a?a是A的特征值，(1,…,1)T是A對(duì)應(yīng)于a的特征向量方陣A可逆?A的特征值都不等于0A?1每行元素之和等于?解：因此，對(duì)于A的任意的特征值?都有因?yàn)锳滿足A2?3A+2E=O是A的一個(gè)化零多項(xiàng)式，所以A的特征值只能取1,2。(2)當(dāng)A=E時(shí)，2不是A的特征值.1不是A的特征值.6.設(shè)矩陣A滿足A2?3A+2E=O,證明：A的特征值只能取1或2，舉例說明1和2未必一定是A的特征值.A滿足A2?3A+2E=O當(dāng)A=2E時(shí)，A滿足A2?3A+2E=O解：對(duì)于A的任意的特征值?都有因?yàn)锳滿足A2=
20、E是A的一個(gè)化零多項(xiàng)式，所以A的特征值只能取1,?1。(2)若?1不是A的特征值，7.設(shè)矩陣A滿足A2=E,證明：A的特征值只能取1或?1;若?1不是A的特征值，則A=E.?是方陣A的一個(gè)特征值?(?E?A)不可逆.?不是方陣A的特征值?(?E?A)可逆.則(?1E?A)可逆.由A2=E可得(A+E)(A?E)=O則A=E.解：即存在非零向量x,y,z,使得有非零解所以A的三個(gè)特征值為1,3,?1.8.設(shè)A為3階矩陣，如果E?A,3E?A,E+A均不可逆，求A的跡和行列式.因?yàn)镋?A,3E?A,E+A均不可逆?是方陣A的一個(gè)特征值?(?E?A)不可逆.?不是方陣A的特征值?(?E?A)
21、可逆.證明：14.設(shè)?1,?2為方陣A的屬于不同特征值?1,?2的特征向量，若k1k2?0,證明k1?1+k2?2不是A的特征向量.若k1?1+k2?2是A的特征向量,則存在?使得因?yàn)?1,?2線性無關(guān)產(chǎn)生矛盾.因此，k1?1+k2?2不是A的特征向量.證明2：因?yàn)?1,?2為對(duì)應(yīng)于?1??2的特征向量，所以?1,?2線性無關(guān),設(shè)k1?1+k2?2為對(duì)應(yīng)?的特征向量.矛盾.當(dāng)，線性無關(guān),矛盾.當(dāng)14.設(shè)?1,?2為方陣A的屬于不同特征值?1,?
