算法設(shè)計(jì)與分析_第5章 回溯法.ppt

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1、第5章回溯法1回溯法有許多問(wèn)題，當(dāng)需要找出它的解集或者要求回答什么解是滿足某些約束條件的最佳解時(shí)，往往要使用回溯法。回溯法的基本做法是搜索，或是一種組織得井井有條的，能避免不必要搜索的窮舉式搜索法。這種方法適用于解一些組合數(shù)相當(dāng)大的問(wèn)題?；厮莘ㄔ趩?wèn)題的解空間樹(shù)中，按深度優(yōu)先策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)搜索解空間樹(shù)。算法搜索至解空間樹(shù)的任意一點(diǎn)時(shí)，先判斷該結(jié)點(diǎn)是否包含問(wèn)題的解。如果肯定不包含，則跳過(guò)對(duì)該結(jié)點(diǎn)為根的子樹(shù)的搜索，逐層向其祖先結(jié)點(diǎn)回溯；否則，進(jìn)入該子樹(shù)，繼續(xù)按深度優(yōu)先策略搜索。2問(wèn)題的解空間問(wèn)題的解向量：回溯法希望一個(gè)問(wèn)題的解能夠表示成一個(gè)n元式(x1,x2,

2、…,xn)的形式。顯約束：對(duì)分量xi的取值限定。隱約束：為滿足問(wèn)題的解而對(duì)不同分量之間施加的約束。解空間：對(duì)于問(wèn)題的一個(gè)實(shí)例，解向量滿足顯式約束條件的所有多元組，構(gòu)成了該實(shí)例的一個(gè)解空間。注意：同一個(gè)問(wèn)題可以有多種表示，有些表示方法更簡(jiǎn)單，所需表示的狀態(tài)空間更小（存儲(chǔ)量少，搜索方法簡(jiǎn)單）。n=3時(shí)的0-1背包問(wèn)題用完全二叉樹(shù)表示的解空間3生成問(wèn)題狀態(tài)的基本方法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn):一個(gè)正在產(chǎn)生兒子的結(jié)點(diǎn)稱為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)活結(jié)點(diǎn):一個(gè)自身已生成但其兒子還沒(méi)有全部生成的節(jié)點(diǎn)稱做活結(jié)點(diǎn)死結(jié)點(diǎn):一個(gè)所有兒子已經(jīng)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)稱做死結(jié)點(diǎn)深度優(yōu)先的問(wèn)題狀態(tài)生成法：如果對(duì)一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)R，一旦產(chǎn)

3、生了它的一個(gè)兒子C，就把C當(dāng)做新的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在完成對(duì)子樹(shù)C（以C為根的子樹(shù)）的窮盡搜索之后，將R重新變成擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)生成R的下一個(gè)兒子（如果存在）寬度優(yōu)先的問(wèn)題狀態(tài)生成法：在一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)變成死結(jié)點(diǎn)之前，它一直是擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)回溯法：為了避免生成那些不可能產(chǎn)生最佳解的問(wèn)題狀態(tài)，要不斷地利用限界函數(shù)(boundingfunction)來(lái)處死那些實(shí)際上不可能產(chǎn)生所需解的活結(jié)點(diǎn)，以減少問(wèn)題的計(jì)算量。具有限界函數(shù)的深度優(yōu)先生成法稱為回溯法4回溯法的基本思想(1)針對(duì)所給問(wèn)題，定義問(wèn)題的解空間；(2)確定易于搜索的解空間結(jié)構(gòu)；(3)以深度優(yōu)先方式搜索解空間，并在搜索過(guò)程中用

4、剪枝函數(shù)避免無(wú)效搜索。常用剪枝函數(shù)：用約束函數(shù)在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處剪去不滿足約束的子樹(shù)；用限界函數(shù)剪去得不到最優(yōu)解的子樹(shù)。用回溯法解題的一個(gè)顯著特征是在搜索過(guò)程中動(dòng)態(tài)產(chǎn)生問(wèn)題的解空間。在任何時(shí)刻，算法只保存從根結(jié)點(diǎn)到當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的路徑。如果解空間樹(shù)中從根結(jié)點(diǎn)到葉結(jié)點(diǎn)的最長(zhǎng)路徑的長(zhǎng)度為h(n)，則回溯法所需的計(jì)算空間通常為O(h(n))。而顯式地存儲(chǔ)整個(gè)解空間則需要O(2h(n))或O(h(n)!)內(nèi)存空間。5遞歸回溯回溯法對(duì)解空間作深度優(yōu)先搜索，因此，在一般情況下用遞歸方法實(shí)現(xiàn)回溯法。voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);else

5、for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t))backtrack(t+1);}}6迭代回溯采用樹(shù)的非遞歸深度優(yōu)先遍歷算法，可將回溯法表示為一個(gè)非遞歸迭代過(guò)程。voiditerativeBacktrack(){intt=1;while(t>0){if(f(n,t)<=g(n,t))for(inti=f(n,t);i<=g(n,t);i++){x[t]=h(i);if(constraint(t)&&bound(t)){if(solution(t))output(x);els

6、et++;}}elset--;}}7子集樹(shù)與排列樹(shù)遍歷子集樹(shù)需O(2n)計(jì)算時(shí)間遍歷排列樹(shù)需要O(n!)計(jì)算時(shí)間voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=0;i<=1;i++){x[t]=i;if(legal(t))backtrack(t+1);}}voidbacktrack(intt){if(t>n)output(x);elsefor(inti=t;i<=n;i++){swap(x[t],x[i]);if(legal(t))backtrack(t+1);swap(x[t],x[i]);}}8裝載問(wèn)題

7、有一批共n個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為c1和c2的輪船，其中集裝箱i的重量為wi，且裝載問(wèn)題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。容易證明，如果一個(gè)給定裝載問(wèn)題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。將第一艘輪船盡可能裝滿等價(jià)于選取全體集裝箱的一個(gè)子集，使該子集中集裝箱重量之和最接近。由此可知，裝載問(wèn)題等價(jià)于以下特殊的0-1背包問(wèn)題。用回溯法設(shè)計(jì)解裝載問(wèn)題的O(2n)計(jì)算時(shí)間算法。在某些情況下該算法優(yōu)于動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法。9裝載問(wèn)題解空間：子

8、集樹(shù)可行性約束函數(shù)(選擇當(dāng)前元素)：上界函數(shù)(不選擇