經(jīng)典光線力學(xué)與量子光線力學(xué).doc

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1、經(jīng)典光線力學(xué)與量子光線力學(xué)1.經(jīng)典光線力學(xué)根據(jù)費馬原理（1）采用直角坐標系描述光傳輸線元，并假設(shè)光線沿著軸傳輸。這樣有關(guān)系式：。其中，。傳輸介質(zhì)折射率為。將帶入費馬原理公式之中，可以得到：（2）其中。（2）式與經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓最小作用原理形式上相同。區(qū)別只是在用代替了。（2）式稱為經(jīng)典光線力學(xué)的哈密頓最小作用原理。為了建立光線力學(xué)的哈密頓方程，引入廣義坐標和廣義動量：。（3）定義光線力學(xué)的哈密頓函數(shù)為（4）這樣可以建立光線哈密頓正則方程：，。（5）求得哈密頓函數(shù)為（6）這個函數(shù)恰好與靜止質(zhì)量的粒子的相對論能量（7）相似。考慮到近軸條件，或，通過級數(shù)展開（6）式

2、簡化為（8）比較（9）十分相似?？梢娫诠饩€力學(xué)中與質(zhì)點力學(xué)中的非相對論近似相應(yīng)的理論是旁軸近似理論。比較（8）和（9）式可以看到光線力學(xué)比質(zhì)點力學(xué)低了一維。粒子勢能為折射率所替代。在旁軸條件下折射率可以表示為，帶入（8）式則連勢能項的符號都一致。在此基礎(chǔ)上建立光線光學(xué)的程函方程（eikonal(光程函數(shù))equation）,只需寫成哈密頓-雅克比方程便可?？紤]到質(zhì)點力學(xué)中的哈密頓-雅克比方程（10）依據(jù)前面的作法，將時間變量變?yōu)?，并降低一維:(11)平方上式，并利用（6）可以得到（12）這就是程函方程。致此我們得到了經(jīng)典光線力學(xué)的全部基本概念和方程。2.量子光線

3、力學(xué)的基本問題（1）量子光線力學(xué)中的普朗克常數(shù)引入量子光線力學(xué)中的普朗克常數(shù)，是真空中的光波長。由于力學(xué)中的時間坐標由傳播方向代替，因此的量綱不在是能量乘時間，而是哈密頓乘長度。量子力學(xué)中一個著名的理論是當時便過度到經(jīng)典力學(xué)。相應(yīng)的當時，便過度到經(jīng)典光線力學(xué)。由于等價于，而由波動方程推導(dǎo)出來的程函方程恰好在成為精確公式。光線光學(xué)只是波動光學(xué)的一個近似。也就是不能由費馬原理得到波動方程。（2）量子光線力學(xué)中物理量的算符化和本征方程在經(jīng)典光線力學(xué)的基礎(chǔ)上進行量子化的重要過程是物理量的算符化（a）坐標：（b）動量：（13）（c）非相對論哈密頓：。（14）（d）相對論哈

4、密頓（15）將哈密頓算符（14）式作用到波函數(shù)上，并利用（6）和（13）式可以得到量子光線力學(xué)中的克萊因-戈登方程。（16）這樣我們可以使用量子力學(xué)的所有熟知的結(jié)論并將之用到光線量子力學(xué)之中，如方程的本征值為光線力學(xué)可測量物理量的可能測量值。而本征函數(shù)的模方則為本征值的取值幾率。通過解能量和動量的本征方程，可知：（1）能量本征值與波的傳播常數(shù)成正比：，將此與質(zhì)點量子力學(xué)相應(yīng)結(jié)果比較可知，普通量子力學(xué)中的頻率與量子光線力學(xué)中的傳播常數(shù)所代替。動量算符的本征態(tài)為平面波，光線的動量相當于光線的斜率。（2）量子光線力學(xué)中的測不準關(guān)系量子光線力學(xué)中的對易關(guān)系（17）再根據(jù)

5、可以推導(dǎo)出測不準關(guān)系（18）若光線的狀態(tài)是動量算符的本征態(tài)（平面波），對光線斜率的每次測量都會得到確定的值。但無法知道光線的位置。平面波充滿整個空間。但當光線經(jīng)過一個很小的狹縫時，光線的位置是確定的，但是其動量則無法確定。