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1、第二章矩陣及其運算矩陣是線性代數(shù)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)上的一個重要工具。矩陣的應(yīng)用已經(jīng)滲透到了包括自然科學(xué)、人文科學(xué)、社會科學(xué)在內(nèi)的各個領(lǐng)域。在矩陣?yán)碚撝校仃嚨倪\算起著重要的作用，本章主要討論有關(guān)矩陣運算的一些基本規(guī)則與技巧。1§2.2逆矩陣§2.1矩陣的概念及運算§2.3矩陣的分塊2第一節(jié)矩陣的概念31.定義由m×n個數(shù)aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m行n列的數(shù)表稱m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。記作一、概念：4這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)aij位于矩陣A的第i
2、行第j列，稱為矩陣A的(i,j)元。以數(shù)aij為(i,j)元的矩陣可簡記作(aij)或(aij)m×n，m×n矩陣A也記作Am×n。元素是實數(shù)的矩陣，稱為實矩陣；元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣稱之為n階方陣，記作An。52.行矩陣、列矩陣與方陣只有一行的矩陣稱行矩陣，又稱行向量。只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱為列向量。行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣叫方陣，記為An。3.同型矩陣與矩陣相等:如果兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等，就稱它們是同型矩陣。如果兩個同型矩陣的對應(yīng)元素相等，那么就稱這兩個矩
3、陣相等。記作：A=B4.零矩陣:元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O。不同型的零矩陣是不相等的。65.對角矩陣、單位矩陣與數(shù)量矩陣如果n階方陣除主對角線上的元素不全為零外，其余元素全為零，這樣的n階方陣稱為對角矩陣。記作A=diag(λ1,λ2,…,λn)如果n階方陣如果滿足主對角線上的元素全為1，其余元素全為零，這樣的n階矩陣稱為n階單位矩陣。記作En或E。如果n階方陣主對角線上的元素全為k，其余元素全為零，這樣的n階矩陣稱為n階數(shù)量矩陣。7二、矩陣的運算1.矩陣的加法:設(shè)有兩個同型的m×n階矩陣A=(ai
4、j)、B=(bij)，則矩陣A與B的和記為A+B，并規(guī)定注：矩陣的加法只能在兩個同型矩陣之間進(jìn)行；兩個矩陣相加時，對應(yīng)元素進(jìn)行相加。8矩陣加法的運算律：(1)A+B=B+A(2)(A+B)+C=A+(B+C)設(shè)矩陣A=(aij)，記?A=(?aij)，稱?A為矩陣A的負(fù)矩陣。由矩陣加法的定義，顯然有A+(?A)=O，由此，矩陣的減法可定義為Ａ?B=Ａ+(?B)92.矩陣的數(shù)乘：數(shù)λ與矩陣Ａ的乘積記為λA或Aλ，并規(guī)定：由此可見，矩陣的數(shù)乘仍然是一個與原矩陣同型的矩陣，并且，是用數(shù)λ與矩陣的每一個元素相乘。1
5、0矩陣數(shù)乘的運算律：矩陣的加法與數(shù)乘合起來通稱為矩陣的線性運算。3.矩陣的乘法：設(shè)矩陣A為m×n階矩陣、矩陣B為n×p階矩陣，A=(aij)m×n、B=(bij)n×p，則矩陣A與B的乘積為一m×p階矩陣C=(cij)m×p，記C=AB，且?11就是說，矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行的所有元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和。?12矩陣A與矩陣B做乘法必須是左矩陣的列數(shù)與右矩陣的行數(shù)相等；矩陣的乘法中，必須注意矩陣相乘的順序，AB是A左乘B的乘積，BA是A右乘B的乘積；13AB與BA不一定
6、同時會有意義；即是有意義，也不一定相等；AB=O不一定有A=O或B=O；A(X?Y)=O且A≠O也不可能一定有X=Y14只有方陣，它的乘冪才有意義。由于矩陣的乘法滿足結(jié)合律，而不滿足交換律，因而有下面的式子：(1)AnAm=An+m(2)(An)m=Anm(3)(AB)k≠AkBk4.矩陣的乘冪：設(shè)A是n階方陣，定義：155.矩陣的轉(zhuǎn)置：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列得到的一個新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT。如果A是一個m×n階矩陣，那么AT就是一個n×m階矩陣。且A的行一定就是AT中同序數(shù)的列?16證明：
7、設(shè)矩陣A為m×s階矩陣，矩陣B為s×n階矩陣，那么：(AB)T與BTAT是同型矩陣；又設(shè)C=AB，因為CT的第i行第j列的元素正好是C的cji，即cji=aj1b1i+aj2b2i+…+ajsbsi=b1iaj1+b2iaj2+…+bsiajs而b1i，b2i，…，bsi正好是BT的第i行，aj1,aj2,…,ajs正好是AT的第j列，因此cji是BTAT的第i行第j列的元素。故(AB)T=ATBT176.方陣的行列式由n階方陣A的元素所構(gòu)成的行列式(各元素的位置不變)，稱為方陣A的行列式，記為
8、A
9、或de
10、tA。注意：行列式與方陣是兩個不同的概念，且它們的記號也是不同的。方陣的行列式滿足以下運算規(guī)律(設(shè)A、B為n階方陣，λ為實數(shù))?182.上(下)三角矩陣：1.數(shù)量矩陣：矩陣kE稱為數(shù)量矩陣。三、幾類特殊的矩陣193.行階梯矩陣與行最簡矩陣：一個m×n階矩陣A=(aij)它的第i行的第一個非零元素記為,如果當(dāng)i>k時,有ji>jk時，稱A為行階梯矩陣。若矩陣B滿足以下條件(1)B是行階梯矩陣；(2)B的每一非零行的
